Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом

[sergey zhukov]

Если бесконечное пространство равномерно заполнено, например, положительными зарядами, то возникает парадокс, аналогичный гравитационному парадоксу - потенциал электрического поля всюду становится бесконечным, а электрическое поле - неопределенным.

Гравитационный парадокс, как я понял, у Ньютона так и остается без обьяснения, и разрешается он только в ОТО (точнее, там он изначально не возникает).

А что происходит с этим парадоксом бесконечного заряда? Как он обьясняется в рамках электростатики? Например, поток электрического поля через поверхность тут не будет пропорционален заряду внутри нее, что противоречит теореме Гаусса для электрического поля.

Значит ли это, что рассматривать ситуацию, когда все пространство заполнено зарядом только одного знака, просто некорректно? Т.е. должны обязательно где-то быть и заряды другого знака. Что-то вроде того, что нельзя создать монету только с одной стороной.

Или же здесь тоже есть намек на какое-то ограничение существующей теории?

[Aritaborian]

Обсуждение на Physics.SE.

[sergey zhukov]

Из этого обсуждения следует, что:

1. Проблем с теоремой Гаусса или уравнением Пуассона нет. Существует множество статичных решений для электрического поля, удовлетворяющих этим уравнениям для пространства, равномерно заполненного одноименным зарядом;

2. Проблема в том, что однородного статичного решения среди них нет. А единственное решение, которое кажется разумным (всюду нулевое поле) является точно неверным.

Получается, что либо при однородном распределении заряда мы имеем неоднородное электрическое поле (явная ерунда), либо статичного решения нет (больше похоже на правду), либо пространство, заполненное однородным зарядом только одного знака, противоречит каким-то законам электромагнетизма.

Вообще же полной ясности тут, похоже, нет.

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1506411 писал(а):

при однородном распределении заряда мы имеем неоднородное электрическое поле (явная ерунда)

Ерунда, если считать, что поле полностью определяется распределением заряда (и потому должно наследовать симметрию этого распределения). Не определяется.

[Theoristos]

В качестве стартового упражнения, предлагаю рассмотреть частный случай задачи, в котором эта пространственная плотность зарядов $\rho = 0$.

Это позволит разбить читающих тему на ряд подмножеств.

[arseniiv]

Не надо разбивать, пусть для простоты рассматривается электростатика, т. е. есть только поле плотности заряда и электрическое поле, определённые на одном пространстве без времени, и связанные законом Гаусса (для любой размерности это $\operatorname{div} \mathbf E = \rho$, физические константы предлагаю отбросить, если будет обсуждение решений в формулах). Тогда все волны увольняются.

sergey zhukov в сообщении #1506411 писал(а):

Вообще же полной ясности тут, похоже, нет.

Лично у меня нет полной ясности только в том, какие глубокомысленные выводы можно сделать из того, что есть куча решений, радиально симметричных относительно разных точек пространства. Я бы предложил рассмотреть те же уравнения и условия на других многообразиях, по крайней мере многообразиях постоянной кривизны типа сферы или гиперболического пространства, и сравнить, что отличается в ответах. Или например взять цилиндр ещё.

-- Чт фев 25, 2021 03:09:21 --

arseniiv в сообщении #1506507 писал(а):

из того, что есть куча решений, радиально симметричных относительно разных точек пространства

Хм впрочем что тут думать, вроде же всё просто: $\operatorname{div} \mathrm{const} = 0$, так что если есть решение $\mathbf E$, есть и решение $\mathbf E + \mathrm{const}$. (Слова svv этот факт точно подразумевали в числе прочих.) В «хороших» случаях мы можем сказать «вы чего, зачем нам ненулевое поле сколь угодно далеко от зарядов?», но в общем случае не можем.

Какие там ещё решения есть у $\operatorname{div} \mathbf E = 0$… Ужасно разнообразные. Например квадратичное аж с 9 параметрами:

$$C + (a x, b y, (-a - b) z) + (a' y z, b' z x, c' x y) + ((a'' y - b'' z) x, (b'' z - c'' x) y, (c'' x - a'' y) z)$$

(в декартовых координатах). Переоткрывать вид произвольного решения не будем.

[sergey zhukov]

svv
Вы считаете ответ "статичное решение для поля в данном случае неоднозначно и зависит не только от распределения заряда" удовлетворительным? По моему, для гравитационного парадокса это не было удовлетворительным ответом, а ведь между этими случаями нет принципиальной разницы.

Theoristos в сообщении #1506501 писал(а):

предлагаю рассмотреть частный случай задачи, в котором эта пространственная плотность зарядов $\rho = 0$.

В этом-то случае есть нулевое решение. Я не сомневаюсь, что оно и будет наблюдаться на практике. Конечно, другие вполне законные решения $\operatorname{div}E=0$ тут тоже существуют, но разве мы не должны отдать предпочтение однородному и изотропному решению? Или же оно совершенно ничем не выделяется среди прочих и априори просто является одним из множества одинаково возможных решений?

arseniiv в сообщении #1506507 писал(а):

Я бы предложил рассмотреть те же уравнения и условия на других многообразиях

Неужели для плоского случая все так плохо? Я бы далеко от него не хотел отходить, т.к. может вполне случиться, что для каких-то многообразий и размерностей какое-то хитрое решение и найдется, только мне его не понять.

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1506518 писал(а):

Вы считаете ответ "статичное решение для поля в данном случае неоднозначно и зависит не только от распределения заряда" удовлетворительным?

Да. Попробуйте отрешиться от представления, что поле обусловлено распределением зарядов. Где-то, уже не помню в какой книжке, автор выразился так. Ненулевая дивергенция поля не вызывается зарядом: заряд и есть ненулевая дивергенция поля.
Когда укрепитесь в мысли, что с не меньшим основанием можно считать, что не поле есть функция от зарядов, а наоборот, просто берите разные поля и смотрите, какие из них имеют нужную Вам дивергенцию (ну, и нулевой ротор, коль мы в электростатике).

[sergey zhukov]

svv
В таком случае почему же гравитационный парадокс не был решен так же? Дивергенция поля ускорения свободного падения - это и есть масса.

Есть ответ поинтереснее, по моему.

[eugensk]

Да где парадокс-то? Поле ноль потому что в любой точке для любого заряда найдется симметричный, на том же расстоянии от точки, но в противоположном направлении, не потому, что это "предпочтительнее". Если всё пространство заполнено зарядом (или массой), то относительно чего будет браться потенциал поля? Нету больше бесконечно удалённой точки. Всё понятно.

[sergey zhukov]

eugensk
Поле именно не ноль. Вот это и странно.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1506518 писал(а):

Неужели для плоского случая все так плохо? Я бы далеко от него не хотел отходить, т.к. может вполне случиться, что для каких-то многообразий и размерностей какое-то хитрое решение и найдется, только мне его не понять.

А как понять, что портится (или наоборот лечится) в плоском случае, если не рассматривать другие?

Как например понять, что такого неординарного в евклидовой геометрии, не рассмотрев другую постоянную кривизну? Как понять, что неудобно в галилеевой геометрии, не рассмотрев псевдоевклидову и евклидову?

eugensk в сообщении #1506528 писал(а):

Поле ноль потому что в любой точке для любого заряда найдется симметричный, на том же расстоянии от точки, но в противоположном направлении

Но поле не ноль.

eugensk в сообщении #1506528 писал(а):

Если всё пространство заполнено зарядом (или массой), то относительно чего будет браться потенциал поля?

Если ввести хоть какой-то намёк на динамику системы, окажется, что разница есть (если мы только не начнём ОТО во все поля, но тогда у нас и исходная ситуация поменяется). Плюс взгляд

svv в сообщении #1506519 писал(а):

Ненулевая дивергенция поля не вызывается зарядом: заряд и есть ненулевая дивергенция поля.

снимает всё желание считать, что можно вычесть ненулевую постоянную без последствий, уже без нужды предполагать динамику.

[Emergency]

arseniiv в сообщении #1506580 писал(а):

Но поле не ноль.

Тогда при помещении в это поле пробного заряда того же знака, он должен выталкиваться полем. Куда?

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1506190 писал(а):

А что происходит с этим парадоксом бесконечного заряда?

Где? В ОТО?

[arseniiv]

Emergency в сообщении #1506587 писал(а):

Тогда при помещении в это поле пробного заряда того же знака, он должен выталкиваться полем. Куда?

Зависит от поля, вам какое? Вы же вроде не выразили несогласия с тем, что решений для одного и того же распределения заряда пруд пруди.

-- Чт фев 25, 2021 21:23:53 --

Как я выше писал (не то чтобы это было чем-то новым), в обычных условиях у нас нет зарядов сколь угодно далеко и мы можем зафиксировать граничные условия: полю быть нулём на бесконечности. Тогда решение останется одно. В необычных же случаях типа данного мы так не можем, вот и вся разница.