Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом

[Emergency]

arseniiv в сообщении #1506591 писал(а):

Зависит от поля, вам какое?

sergey zhukov в сообщении #1506190 писал(а):

бесконечное пространство равномерно заполнено, например, положительными зарядами

arseniiv в сообщении #1506591 писал(а):

в обычных условиях у нас нет зарядов сколь угодно далеко и мы можем зафиксировать граничные условия: полю быть нулём на бесконечности. Тогда решение останется одно. В необычных же случаях типа данного мы так не можем, вот и вся разница.

Условия определены, хотя и весьма специфические.
Мне непонятно зачем автору именно такие, но это же его право? А исходя из его условий и решение получается такое, что заряд есть (размазанный на бесконечности), а градиента поля нет.

[arseniiv]

Emergency в сообщении #1506608 писал(а):

А исходя из его условий и решение получается такое, что заряд есть (размазанный на бесконечности)

Так это не решение, это условия, что заряд размазан равномерно с ненулевой плотностью.

Emergency в сообщении #1506608 писал(а):

а градиента поля нет

У векторных полей нет градиента, если говорить языком обычного векторного анализа. (Можно считать «градиент» означающим «внешний дифференциал», но нам тогда надо сначала перейти на язык внешних форм для наших полей.) А дивергенция везде равна плотности. В каждом из решений.

[sergey zhukov]

arseniiv в сообщении #1506507 писал(а):

В «хороших» случаях мы можем сказать «вы чего, зачем нам ненулевое поле сколь угодно далеко от зарядов?», но в общем случае не можем.

Действительно, ведь электрическое поле любой конфигурации зарядов математически не определено однозначно этой конфигурацией. Так кажется из-за привычки автоматически предполагать нулевое поле на бесконечности. Поэтому даже в "хороших" случаях решение поля получается неоднозначным. Я об этом как-то не думал раньше.

Однако нулевое поле на бесконечности (когда конфигурация зарядов компактна) физически кажется не просто одними из множества равноправных граничных условий, а именно единственными правильными, хотя математически это вроде ниоткуда не следует. Может быть так кажется потому, что бесконечная энергия электрического поля по всему пространству не может быть создана конечным числом зарядов.

Хотя математика и говорит, что в ситуации бесконечного заряженного пространства поле может быть самым разным, невозможно отделаться от мысли, что при физической реализации этого поле должно быть каким-то определенным. Все таки это физически нереализуемо. И нет способа последовательного приближения к этой реализации.

У этой задачи все же нет однозначного решения, как и у гравитационного парадокса.

[EUgeneUS]

Emergency в сообщении #1506608 писал(а):

А исходя из его условий и решение получается такое, что заряд есть (размазанный на бесконечности), а градиента поля нет.

Так в этом и заключается перегиб и парадокс.
С одной стороны, трансляционная симметрия и симметрия относительно поворотов, откуда поле всюду равно нулю.
А с другой стороны одно из уравнений Максвелла: $\triangle \vec{E} = \rho$, что никак не выполняется при $\vec{E} = 0$ и $\rho \ne 0$

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1506618 писал(а):

А дивергенция везде равна плотности.

А дивергенция нулевого векторного поля равна нулю. Следовательно, в бесконечном евклидовом пространстве равномерным может быть только нулевое распределение заряда. Вопрос можно считать закрытым, по крайней мере, в той расплывчатой формулировке ТС, в которой его тут поняли.

[Emergency]

arseniiv в сообщении #1506618 писал(а):

У векторных полей нет градиента, если говорить языком обычного векторного анализа.

Я же по простецки. В задаче статика, значит $\vec{E}=-\nabla \varphi$

-- 26.02.2021, 12:30 --

realeugene в сообщении #1506658 писал(а):

Следовательно, в бесконечном евклидовом пространстве равномерным может быть только нулевое распределение заряда.

А если вселенная расширяется?

[realeugene]

Emergency в сообщении #1506667 писал(а):

А если вселенная расширяется?

Но однородно рассширяется? Тогда в силу симметрий такого пространства электромагнитное поле в каждой его точке равно нулю, как равны всюду нулю и тензор электромагнитного поля, как следствие уравнений Маквселла - равен всюду нулю 4-ток, нулевая компонента которого есть пространственная плотность заряда:

$$\left(\mathbf{E},\mathbf{B}\right)=0\,\Rightarrow\,\mathrm{F}=0\,\Rightarrow\,^*\mathrm{F}=0\,\Rightarrow\,\mathrm{d}^*\,\mathrm{F}=0\,\Rightarrow\,^*\mathrm{J}=0\,\Rightarrow\,j^{\alpha}=0\,\Rightarrow\,\rho=0$$

[Emergency]

realeugene в сообщении #1506685 писал(а):

нулевая компонента которого есть пространственная плотность заряда

Так ведь в заряженной вселенной при расширении плотность заряда убывает. И вообще какие-то токи присутствуют.

[realeugene]

Emergency в сообщении #1506692 писал(а):

И вообще какие-то токи присутствуют.

Если 4-ток равен нулю, то и пространственная плотность заряда вместе с током равны нулю. В общем, как бы пространство ни расширялось, не может быть ненулевой плотность заряда при всюду равном нулю электромагнитном поле.

[Emergency]

realeugene в сообщении #1506696 писал(а):

как бы пространство ни расширялось, не может быть ненулевой плотность заряда при всюду равном нулю электромагнитном поле.

Вы поменяли задачу. Надо найти поле ненулевого расширяющегося равномерного бесконечного заряда.

[realeugene]

Из соображений симметрии это поле равно нулю. Следовательно, плотность заряда нулевая.

[Emergency]

realeugene в сообщении #1506710 писал(а):

Из соображений симметрии это поле равно нулю. Следовательно, плотность заряда нулевая.

Или задача поставлена не верно. В смысле не бывает бесконечных вселенных.

[realeugene]

Emergency в сообщении #1506719 писал(а):

Или задача поставлена не верно. В смысле не бывает бесконечных вселенных.

Задача, конечно, поставлена неверно по куче причин.

[realeugene]

Emergency в сообщении #1506719 писал(а):

Или задача поставлена не верно. В смысле не бывает бесконечных вселенных.

Но если в бесконечной Вселенной с однородной плотностью заряда, в принципе, ещё можно рассуждать про некие заведомо нефизичные несимметричные решения с бесконечно возрастающей на бесконечности напряженностью поля, то в конечном пространстве с равномерной плотностью заряда подобные возможности отсутствуют.

[Emergency]

realeugene в сообщении #1506795 писал(а):

можно рассуждать про некие заведомо нефизичные несимметричные решения

Если оставлять только физичные, то заряженные вселенные вообще надо исключать из-за закона сохранения заряда.