2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение27.02.2021, 13:41 


17/10/16
3893
Нашел следующее разьяснение сущности гравитационного парадокса:

Возникновение гравитационного парадокса в теории Ньютона связано со следующим. Потенциал $\varphi$ и его градиент $\operatorname{grad} \varphi$ - величины ненаблюдаемые. Наблюдаемыми являются вторые производные потенциала $\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^i\partial x^k}\equiv \varphi_{ik}$, которые определяют относительные ускорения. Поэтому расходимости и неопределенности $\varphi$ и $\operatorname{grad} \varphi$ нельзя считать парадоксом. Для определения всех наблюдаемых $\varphi_{ik}$ теории Ньютона недостаточно. Из шести $\varphi_{ik}$ только три связаны уравнением $\varphi_{11}+\varphi_{22}+\varphi_{33}=4\pi G\rho$. Эту неопределенность в нахождении $\varphi_{ik}$ и следует называть гравитационным парадоксом.

Лучшее обьяснение, на мой взгляд.

Там же сказано, что теория гравитации Ньютона именно неприменима в этих условиях и наличие гравитационного парадокса указывает не ее неполноту и внутренние проблемы. Почему же аналогичный парадокс в электромагнетизме на это не указывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение27.02.2021, 14:00 


27/08/16
9426
sergey zhukov в сообщении #1506824 писал(а):
Почему же аналогичный парадокс в электромагнетизме на это не указывает?
Потому что электрические заряды существуют двух противоположных знаков, и они в среднем полностью компенсируют друг друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение27.02.2021, 15:01 


17/10/16
3893
realeugene
В таком случае в электромагнетизме этот парадокс не возникает потому, что бесконечное пространство, заполненное зарядом одного знака, просто невозможно по условию обязательной электронейтральности системы в целом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение28.02.2021, 04:19 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
sergey zhukov в сообщении #1506824 писал(а):
Потенциал $\varphi$ и его градиент $\operatorname{grad} \varphi$ - величины ненаблюдаемые.
Поясните насчёт градиента. Ускорение частицы в гравитационном поле равно $(-\operatorname{grad}\varphi)$, это формула (81.2) ЛЛ2.

sergey zhukov в сообщении #1506190 писал(а):
возникает парадокс, аналогичный гравитационному парадоксу - потенциал электрического поля всюду становится бесконечным
Но потенциал электрического поля тоже ненаблюдаем. Значит, и тут беспокоиться не о чем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение28.02.2021, 04:46 


17/10/16
3893
svv
Я понимаю это так, что наблюдаемое проявление гравитации - это приливные силы, которые зависят от вторых производных потенциала. Первые производные потенциала в свободно падающей системе отсчета ненаблюдаемы.

-- 28.02.2021, 05:54 --

svv в сообщении #1506921 писал(а):
Но потенциал электрического поля тоже ненаблюдаем. Значит, и тут беспокоиться не о чем?


Вторые производные этого потенциала ведь наблюдаемы, а теория не может определить их однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение28.02.2021, 20:33 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
sergey zhukov в сообщении #1506922 писал(а):
Первые производные потенциала в свободно падающей системе отсчета ненаблюдаемы.

Только если закрыть глаза. Правда тогда вообще ничто не наблюдаемо. :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение01.03.2021, 18:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
sergey zhukov
Если я Вас правильно понимаю, в случае электростатики Вы считаете существенной частью парадокса именно неединственность поля при заданной плотности заряда.

Пусть $\rho$ задана, а $\mathbf E_1(\mathbf r)$ и $\mathbf E_2(\mathbf r)$ — два разных решения системы уравнений
$\operatorname{div}\mathbf E=4\pi\rho$
$\operatorname{rot}\mathbf E=0$
Тогда их разность $\mathbf E_0=\mathbf E_1-\mathbf E_2$ удовлетворяет уравнениям без источников:
$\operatorname{div}\mathbf E_0=0$
$\operatorname{rot}\mathbf E_0=0$
Легко убедиться, что у этой системы есть много ненулевых решений. Это однородные поля $\mathbf E_0=\operatorname{const}$, но не только! — например, $\mathbf E_0=x\mathbf e_x - y\mathbf e_y$.

Соответственно, ту же степень произвола в выборе решения имеет и исходная система при заданном $\rho(\mathbf r)$.

Так вот, если Вы полагаете, что в ОТО подобного «безобразия» не наблюдается — это совершенно не так. (И потому, в Вашем смысле, парадокс не решён и там.) Пусть в уравнениях Эйнштейна тензор энергии-импульса $T_{ik}$ всюду равен нулю. Тогда обращается в нуль и тензор Риччи $R_{ik}$, но отнюдь не тензор кривизны Римана $R_{ik\ell m}$. «Убрав» материю и другие поля, кроме гравитационного, мы получим не одно тривиальное решение (плоское пространство-время), а целый рой вакуумных решений.
Это при всём различии уравнений Эйнштейна (нелинейных) и Максвелла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение02.03.2021, 05:38 


17/10/16
3893
svv
Неоднозначность решения я уже понял. Теперь я думаю, что если эта неоднозначность касается ненаблюдаемых величин, то нет проблем (тут скорее вопрос в том, зачем мы вообще включаем ненаблюдаемые величины в свое описании и почему не можем без них обойтись). Но если именно наблюдаемые величины не могут быть однозначно определены - это странно.

В ОТО я разбираюсь плохо, но мне кажется, что все наблюдаемые величины она определяет однозначно. Ньютоновская же теория гравитации делает это только в случае, если поле на бесконечности положить равным нулю. Так всегда и следует делать, когда это возможно, чтобы избежать неоднозначности. Если этого сделать нельзя, то эта теория не определяет однозначно взаимное движение двух пробных частиц, а это, безусловно, величина наблюдаемая. Значит, тут проблема.

В электростатике как будто такая же проблема. В случае бесконечного равномерного распределения заряда мы, похоже, не можем предсказать взаимное движение двух пробных частиц. Это мне не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение02.03.2021, 10:58 


27/08/16
9426
Система уравнений линейная. Всегда можно добавить нулевые решения, и опять получить решение. Например, электромагнитные волны, если речь про электродинамику, или постоянное всюду поле, если про электростатику. В электростатике электрическое поле должно быть потенциальным: его ротор равен нулю.

В задаче обсуждаются дифференциальные уравнения в частных производных. Граничные условия (в данном случае, условия на бесконечности) в условиях задачи не заданы. Обычно, когда в условиях задачи упомянута некоторая симметрия, подразумевается такая же симметрия и граничных условий. Но это не обязательно. В данном случае, изотропия граничных условий отсекает постоянное всюду электрическое поле. И бесконечно возрастающее в некоторых направлениях на бесконечности поле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом
Сообщение02.03.2021, 17:26 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
sergey zhukov в сообщении #1507287 писал(а):
Ньютоновская же теория гравитации делает это только в случае, если поле на бесконечности положить равным нулю. Так всегда и следует делать, когда это возможно, чтобы избежать неоднозначности. Если этого сделать нельзя, то эта теория не определяет однозначно взаимное движение двух пробных частиц, а это, безусловно, величина наблюдаемая. Значит, тут проблема.

Потенциал на бесконечности может быть любым, но он не определим - определима разность потенциалов, поэтому можно положить потенциал любым, но условный ноль удобнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group