2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение23.02.2021, 20:39 


23/04/15
96
Добрый день всем.

Возникла проблема точного вычисления функций – мод собственных поперечных колебаний стрежня. Для стрежня единичной длины функции имеют вид:
$f_m(x) = C_m[\ch(k_mx)+\cos(k_mx)]+\sh(k_mx)+\sin(k_mx)$ ,
где $C_m = -\frac{-\sin(k_m)+\sh(k_m)}{-\cos(k_m)+\ch(k_m)}$ , а собственные частоты $k_m$ удовлетворяют уравнению: $\ch(k_m)\cos(k_m) = 1$.
При численном решении данного уравнения, получаются следующие значения, начиная с ненулевого:
Изображение
При этом остаточная ошибка несоответствия левой и правой частей уравнения сначала приемлемая, а потом возрастает до космических значений:
Изображение
Данные функции являются ортонормированными. Если при полученных частотах вычислить их норму $Inorm = \int\limits_{0}^{1}[f_m(x)]^2dx$, то она, наоборот, с увеличением частоты с большей точностью становится равной единице, а для низших частот – нет приемлемой единичной нормы:
Изображение
Ортогональность же мод при низших частотах выполняется с ошибкой порядка $10^{-15}$, а при высших рассматриваемых частотах ошибка имеет порядок $10^{-10}$.
Вопрос: как можно добиться более точного соответствия рассматриваемых функций ортонормированной системе? Использовать для расчета тип переменных long double, к примеру?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение24.02.2021, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Pumpov в сообщении #1506239 писал(а):
Возникла проблема точного вычисления функций – мод собственных поперечных колебаний стрежня.
А что там творится с концами стержня? Судя по приведенному решению - нечто странное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение24.02.2021, 14:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
amon
Речь идёт о поперечных колебаниях стержня со свободными концами. В этом случае условия на концах $\frac{d^2 f}{dx^2}=0$ и $\frac{d^3 f}{dx^3}=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение24.02.2021, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Pumpov в сообщении #1506239 писал(а):
для низших частот – нет приемлемой единичной нормы:

Да хто ж вас заставляет использовать конкретно эти функции? Помножьте на подходящий скалярный множитель и дело с концом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение24.02.2021, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
svv в сообщении #1506375 писал(а):
Речь идёт о поперечных колебаниях стержня со свободными концами
Да, Вы правы. Я в уме считая производную знак попутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение24.02.2021, 16:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Pumpov в сообщении #1506239 писал(а):
Ортогональность же мод при низших частотах выполняется с ошибкой порядка $10^{-15}$, а при высших рассматриваемых частотах ошибка имеет порядок $10^{-10}$.
Теория гарантирует ортогональность различных мод, так что причина в неточном вычислении $k$, ну и, возможно, в погрешности интегрирования, если Вы интегрируете численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение24.02.2021, 21:47 


23/04/15
96
Red_Herring в сообщении #1506404 писал(а):
Да хто ж вас заставляет использовать конкретно эти функции? Помножьте на подходящий скалярный множитель и дело с концом.


Да. Спасибо большое! Я вчера перед сном примерно так и догадался ;)

svv в сообщении #1506430 писал(а):
Теория гарантирует ортогональность различных мод, так что причина в неточном вычислении $k$, ну и, возможно, в погрешности интегрирования, если Вы интегрируете численно.

Я все несложные интегралы при перемножении уже аналитически считал. Если не численно - то по точным формулам "тихий ужас" получается, как говорил один лектор по матану )
Ради интереса попробуйте ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение24.02.2021, 22:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вот простая проверка ортогональности, не использующая общих теорем.
Пусть функции $y_1(x), y_2(x)$ являются решениями ДУ $y_1''''=k_1^4 y_1$ и $y_2''''=k_2^4 y_2$ и удовлетворяют на обоих концах условиям $y_m''=0, y_m'''=0$.
Интегрированием по частям легко показать, что $\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx$ (каждый возникающий внеинтегральный член равен нулю, так как содержит либо вторую, либо третью производную на концах).
Поэтому
$k_1^4 \int y_1 y_2 dx =\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx = k_2^4 \int y_1 y_2 dx$
Отсюда при $k_1^4\neq k_2^4$ получим $\int y_1 y_2 dx =0$.

Раз так, проверки, использующие численные методы, фактически, будут лишь диагностировать точность этих численных методов (ну, при условии, конечно, что всё корректно). :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение25.02.2021, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Pumpov в сообщении #1506490 писал(а):
Я все несложные интегралы при перемножении уже аналитически считал. Если не численно - то по точным формулам "тихий ужас" получается
??? Там же одни экспоненты--вещественные и комплексные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение25.02.2021, 05:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Pumpov
Формулы можно значительно упростить, если использовать на стержне координату $t=2x-1$, которая на его концах принимает значения $\pm 1$. При этом вместо $k_m$ удобнее использовать $\varkappa_m=k_m/2$.

Теперь моды очевидно делятся на чётные и нечётные.
Чётные имеют вид:
$y_m=\ch (\varkappa_m) \cos (\varkappa_m t) +\cos (\varkappa_m) \ch (\varkappa_m t)$
Нечётные имеют вид:
$y_m=\sh (\varkappa_m) \sin (\varkappa_m t) + \sin (\varkappa_m) \sh (\varkappa_m t)$

Частоты $\varkappa_m$ можно найти через известные $k_m$, либо использовать уравнение
$\th\varkappa_m\pm \tg\varkappa_m=0$,
где знак $+$ берется для чётных мод, а знак $-$ для нечётных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение03.03.2021, 22:47 


23/04/15
96
svv в сообщении #1506496 писал(а):
Вот простая проверка ортогональности, не использующая общих теорем.
Пусть функции $y_1(x), y_2(x)$ являются решениями ДУ $y_1''''=k_1^4 y_1$ и $y_2''''=k_2^4 y_2$ и удовлетворяют на обоих концах условиям $y_m''=0, y_m'''=0$.
Интегрированием по частям легко показать, что $\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx$ (каждый возникающий внеинтегральный член равен нулю, так как содержит либо вторую, либо третью производную на концах).
Поэтому
$k_1^4 \int y_1 y_2 dx =\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx = k_2^4 \int y_1 y_2 dx$
Отсюда при $k_1^4\neq k_2^4$ получим $\int y_1 y_2 dx =0$.

Раз так, проверки, использующие численные методы, фактически, будут лишь диагностировать точность этих численных методов (ну, при условии, конечно, что всё корректно). :-)

Спасибо большое! Я подобный приём видел давно.
Т.е. получается, что даже при неправильных, но разных $k$, функции всё-равно ортогональны!.. Круто ;)

svv в сообщении #1506517 писал(а):
Pumpov
Формулы можно значительно упростить, если использовать на стержне координату $t=2x-1$, которая на его концах принимает значения $\pm 1$.

Я менее изящно, но при численных расчётах использовал промежуток $[0,\frac{1}{2}]$ , и брал симметричное или антисимметричное продолжение.
svv в сообщении #1506517 писал(а):
При этом вместо $k_m$ удобнее использовать $\varkappa_m=k_m/2$.

Теперь моды очевидно делятся на чётные и нечётные.
Чётные имеют вид:
$y_m=\ch (\varkappa_m) \cos (\varkappa_m t) +\cos (\varkappa_m) \ch (\varkappa_m t)$
Нечётные имеют вид:
$y_m=\sh (\varkappa_m) \sin (\varkappa_m t) + \sin (\varkappa_m) \sh (\varkappa_m t)$

Частоты $\varkappa_m$ можно найти через известные $k_m$, либо использовать уравнение
$\th\varkappa_m\pm \tg\varkappa_m=0$,
где знак $+$ берется для чётных мод, а знак $-$ для нечётных.

Попробую, спасибо.

-- 03.03.2021, 23:50 --

Red_Herring в сообщении #1506505 писал(а):
Pumpov в сообщении #1506490 писал(а):
Я все несложные интегралы при перемножении уже аналитически считал. Если не численно - то по точным формулам "тихий ужас" получается
??? Там же одни экспоненты--вещественные и комплексные.

А при подстановке достаточно высоких степеней получаются огромные числа и компьютер выдает несуразные значения, не может вычесть большое из большого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение03.03.2021, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Pumpov в сообщении #1507750 писал(а):
А при подстановке достаточно высоких степеней получаются огромные числа
Так их надо правильно нормировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение03.03.2021, 23:16 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Pumpov в сообщении #1507750 писал(а):
Т.е. получается, что даже при неправильных, но разных $k$, функции всё-равно ортогональны!.. Круто ;)
Нет, к сожалению. Это было бы уж чересчур круто. :-)
В доказательстве использовано то, что каждая из функций $y_1(x),y_2(x)$ удовлетворяет одновременно ДУ (со "своим" $k$) и условиям на концах стержня, а такое при произвольных $k$ не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение05.03.2021, 00:53 


23/04/15
96
svv в сообщении #1506496 писал(а):
Вот простая проверка ортогональности, не использующая общих теорем.
Пусть функции $y_1(x), y_2(x)$ являются решениями ДУ $y_1''''=k_1^4 y_1$ и $y_2''''=k_2^4 y_2$ и удовлетворяют на обоих концах условиям $y_m''=0, y_m'''=0$.

.
.
.
svv в сообщении #1506496 писал(а):
Отсюда при $k_1^4\neq k_2^4$ получим $\int y_1 y_2 dx =0$.

Раз так, проверки, использующие численные методы, фактически, будут лишь диагностировать точность этих численных методов (ну, при условии, конечно, что всё корректно). :-)


Хорошо, что я успел написать до нового возможного комментария -- это не верно!!

Дело в том, что Вы используете равенства нулю вторых и третьих производных на концах - а они выполняются только для "избранных" чисел $k$ -- собственных частот. Так что к сожалению или к счастью ортогональность указанной системы функций справедлива только для соответствующих собственных мод колебаний! :wink:
Ну и вот интересно, сколько нужно чисел после запятой, чтобы частотное уравнение $\ch(k_m)\cos(k_m) = 1$ как следует выполнялось для мод хотя бы до 15-го порядка включительно.

О, Боже мой, пока писал ответ уже появилось Ваше разоблачение мафии, браузер с опозданием обновил тему ; )

-- 05.03.2021, 01:58 --

Red_Herring в сообщении #1507756 писал(а):
Pumpov в сообщении #1507750 писал(а):
А при подстановке достаточно высоких степеней получаются огромные числа
Так их надо правильно нормировать.

У меня есть готовые формулы, я достану и попробую ещё раз. Благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции мод собственных поперечных колебаний стержня
Сообщение05.03.2021, 01:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Pumpov в сообщении #1507911 писал(а):
О, Боже мой, пока писал ответ уже появилось Ваше разоблачение мафии, браузер с опозданием обновил тему ; )
На двое суток задержал браузер обновление, будь он неладен! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group