Функции мод собственных поперечных колебаний стержня

[Pumpov]

Добрый день всем.

Возникла проблема точного вычисления функций – мод собственных поперечных колебаний стрежня. Для стрежня единичной длины функции имеют вид:
$f_m(x) = C_m[\ch(k_mx)+\cos(k_mx)]+\sh(k_mx)+\sin(k_mx)$ ,
где $C_m = -\frac{-\sin(k_m)+\sh(k_m)}{-\cos(k_m)+\ch(k_m)}$ , а собственные частоты $k_m$ удовлетворяют уравнению: $\ch(k_m)\cos(k_m) = 1$.
При численном решении данного уравнения, получаются следующие значения, начиная с ненулевого:

При этом остаточная ошибка несоответствия левой и правой частей уравнения сначала приемлемая, а потом возрастает до космических значений:

Данные функции являются ортонормированными. Если при полученных частотах вычислить их норму $Inorm = \int\limits_{0}^{1}[f_m(x)]^2dx$, то она, наоборот, с увеличением частоты с большей точностью становится равной единице, а для низших частот – нет приемлемой единичной нормы:

Ортогональность же мод при низших частотах выполняется с ошибкой порядка $10^{-15}$, а при высших рассматриваемых частотах ошибка имеет порядок $10^{-10}$.
Вопрос: как можно добиться более точного соответствия рассматриваемых функций ортонормированной системе? Использовать для расчета тип переменных long double, к примеру?

[amon]

Pumpov в сообщении #1506239 писал(а):

Возникла проблема точного вычисления функций – мод собственных поперечных колебаний стрежня.

А что там творится с концами стержня? Судя по приведенному решению - нечто странное.

[svv]

amon
Речь идёт о поперечных колебаниях стержня со свободными концами. В этом случае условия на концах $\frac{d^2 f}{dx^2}=0$ и $\frac{d^3 f}{dx^3}=0$.

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1506239 писал(а):

для низших частот – нет приемлемой единичной нормы:

Да хто ж вас заставляет использовать конкретно эти функции? Помножьте на подходящий скалярный множитель и дело с концом.

[amon]

svv в сообщении #1506375 писал(а):

Речь идёт о поперечных колебаниях стержня со свободными концами

Да, Вы правы. Я в уме считая производную знак попутал.

[svv]

Pumpov в сообщении #1506239 писал(а):

Ортогональность же мод при низших частотах выполняется с ошибкой порядка $10^{-15}$, а при высших рассматриваемых частотах ошибка имеет порядок $10^{-10}$.

Теория гарантирует ортогональность различных мод, так что причина в неточном вычислении $k$, ну и, возможно, в погрешности интегрирования, если Вы интегрируете численно.

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1506404 писал(а):

Да хто ж вас заставляет использовать конкретно эти функции? Помножьте на подходящий скалярный множитель и дело с концом.

Да. Спасибо большое! Я вчера перед сном примерно так и догадался ;)

svv в сообщении #1506430 писал(а):

Теория гарантирует ортогональность различных мод, так что причина в неточном вычислении $k$, ну и, возможно, в погрешности интегрирования, если Вы интегрируете численно.

Я все несложные интегралы при перемножении уже аналитически считал. Если не численно - то по точным формулам "тихий ужас" получается, как говорил один лектор по матану )
Ради интереса попробуйте ;)

[svv]

Вот простая проверка ортогональности, не использующая общих теорем.
Пусть функции $y_1(x), y_2(x)$ являются решениями ДУ $y_1''''=k_1^4 y_1$ и $y_2''''=k_2^4 y_2$ и удовлетворяют на обоих концах условиям $y_m''=0, y_m'''=0$.
Интегрированием по частям легко показать, что $\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx$ (каждый возникающий внеинтегральный член равен нулю, так как содержит либо вторую, либо третью производную на концах).
Поэтому
$k_1^4 \int y_1 y_2 dx =\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx = k_2^4 \int y_1 y_2 dx$
Отсюда при $k_1^4\neq k_2^4$ получим $\int y_1 y_2 dx =0$.

Раз так, проверки, использующие численные методы, фактически, будут лишь диагностировать точность этих численных методов (ну, при условии, конечно, что всё корректно).

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1506490 писал(а):

Я все несложные интегралы при перемножении уже аналитически считал. Если не численно - то по точным формулам "тихий ужас" получается

??? Там же одни экспоненты--вещественные и комплексные.

[svv]

Pumpov
Формулы можно значительно упростить, если использовать на стержне координату $t=2x-1$, которая на его концах принимает значения $\pm 1$. При этом вместо $k_m$ удобнее использовать $\varkappa_m=k_m/2$.

Теперь моды очевидно делятся на чётные и нечётные.
Чётные имеют вид:
$y_m=\ch (\varkappa_m) \cos (\varkappa_m t) +\cos (\varkappa_m) \ch (\varkappa_m t)$
Нечётные имеют вид:
$y_m=\sh (\varkappa_m) \sin (\varkappa_m t) + \sin (\varkappa_m) \sh (\varkappa_m t)$

Частоты $\varkappa_m$ можно найти через известные $k_m$, либо использовать уравнение
$\th\varkappa_m\pm \tg\varkappa_m=0$,
где знак $+$ берется для чётных мод, а знак $-$ для нечётных.

[Pumpov]

svv в сообщении #1506496 писал(а):

Вот простая проверка ортогональности, не использующая общих теорем.
Пусть функции $y_1(x), y_2(x)$ являются решениями ДУ $y_1''''=k_1^4 y_1$ и $y_2''''=k_2^4 y_2$ и удовлетворяют на обоих концах условиям $y_m''=0, y_m'''=0$.
Интегрированием по частям легко показать, что $\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx$ (каждый возникающий внеинтегральный член равен нулю, так как содержит либо вторую, либо третью производную на концах).
Поэтому
$k_1^4 \int y_1 y_2 dx =\int y_1'''' y_2 dx = \int y_1 y_2'''' dx = k_2^4 \int y_1 y_2 dx$
Отсюда при $k_1^4\neq k_2^4$ получим $\int y_1 y_2 dx =0$.

Раз так, проверки, использующие численные методы, фактически, будут лишь диагностировать точность этих численных методов (ну, при условии, конечно, что всё корректно).

Спасибо большое! Я подобный приём видел давно.
Т.е. получается, что даже при неправильных, но разных $k$, функции всё-равно ортогональны!.. Круто ;)

svv в сообщении #1506517 писал(а):

Pumpov
Формулы можно значительно упростить, если использовать на стержне координату $t=2x-1$, которая на его концах принимает значения $\pm 1$.

Я менее изящно, но при численных расчётах использовал промежуток $[0,\frac{1}{2}]$ , и брал симметричное или антисимметричное продолжение.

svv в сообщении #1506517 писал(а):

При этом вместо $k_m$ удобнее использовать $\varkappa_m=k_m/2$.

Теперь моды очевидно делятся на чётные и нечётные.
Чётные имеют вид:
$y_m=\ch (\varkappa_m) \cos (\varkappa_m t) +\cos (\varkappa_m) \ch (\varkappa_m t)$
Нечётные имеют вид:
$y_m=\sh (\varkappa_m) \sin (\varkappa_m t) + \sin (\varkappa_m) \sh (\varkappa_m t)$

Частоты $\varkappa_m$ можно найти через известные $k_m$, либо использовать уравнение
$\th\varkappa_m\pm \tg\varkappa_m=0$,
где знак $+$ берется для чётных мод, а знак $-$ для нечётных.

Попробую, спасибо.

-- 03.03.2021, 23:50 --

Red_Herring в сообщении #1506505 писал(а):

Pumpov в сообщении #1506490 писал(а):

Я все несложные интегралы при перемножении уже аналитически считал. Если не численно - то по точным формулам "тихий ужас" получается

??? Там же одни экспоненты--вещественные и комплексные.

А при подстановке достаточно высоких степеней получаются огромные числа и компьютер выдает несуразные значения, не может вычесть большое из большого.

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1507750 писал(а):

А при подстановке достаточно высоких степеней получаются огромные числа

Так их надо правильно нормировать.

[svv]

Pumpov в сообщении #1507750 писал(а):

Т.е. получается, что даже при неправильных, но разных $k$, функции всё-равно ортогональны!.. Круто ;)

Нет, к сожалению. Это было бы уж чересчур круто.
В доказательстве использовано то, что каждая из функций $y_1(x),y_2(x)$ удовлетворяет одновременно ДУ (со "своим" $k$) и условиям на концах стержня, а такое при произвольных $k$ не получится.

[Pumpov]

svv в сообщении #1506496 писал(а):

Вот простая проверка ортогональности, не использующая общих теорем.
Пусть функции $y_1(x), y_2(x)$ являются решениями ДУ $y_1''''=k_1^4 y_1$ и $y_2''''=k_2^4 y_2$ и удовлетворяют на обоих концах условиям $y_m''=0, y_m'''=0$.

.
.
.

svv в сообщении #1506496 писал(а):

Отсюда при $k_1^4\neq k_2^4$ получим $\int y_1 y_2 dx =0$.

Раз так, проверки, использующие численные методы, фактически, будут лишь диагностировать точность этих численных методов (ну, при условии, конечно, что всё корректно).

Хорошо, что я успел написать до нового возможного комментария -- это не верно!!

Дело в том, что Вы используете равенства нулю вторых и третьих производных на концах - а они выполняются только для "избранных" чисел $k$ -- собственных частот. Так что к сожалению или к счастью ортогональность указанной системы функций справедлива только для соответствующих собственных мод колебаний!
Ну и вот интересно, сколько нужно чисел после запятой, чтобы частотное уравнение $\ch(k_m)\cos(k_m) = 1$ как следует выполнялось для мод хотя бы до 15-го порядка включительно.

О, Боже мой, пока писал ответ уже появилось Ваше разоблачение мафии, браузер с опозданием обновил тему ; )

-- 05.03.2021, 01:58 --

Red_Herring в сообщении #1507756 писал(а):

Pumpov в сообщении #1507750 писал(а):

А при подстановке достаточно высоких степеней получаются огромные числа

Так их надо правильно нормировать.

У меня есть готовые формулы, я достану и попробую ещё раз. Благодарю.

[svv]

Pumpov в сообщении #1507911 писал(а):

О, Боже мой, пока писал ответ уже появилось Ваше разоблачение мафии, браузер с опозданием обновил тему ; )

На двое суток задержал браузер обновление, будь он неладен!