Существование разрывного функционала в банаховом пространств

[meshok]

Доброго времени суток!
Увидел в одной книге фразу "взяв разрывный функционал $F$ на $B$ (такой существует на всяком бесконечномерном банаховом пространстве)". Решил попробовать доказать это утверждение.
Пусть $B$ - бесконечномерное банахово и $\{e_{\alpha}\}$ - базис Гамеля этого пространства. Выберем среди этих векторов счетный набор $E=\{e_k\}$ и нормируем их. Зададим на $B$ функционал $f$, действующий по следующему правилу: $f(v)=\alpha_{k_1}f(e_{k_1})+\alpha_{k_2}f(e_{k_2})+..+\alpha_{k_n}f(e_{k_n})$, где $v=\alpha_{k_1}e_{k_1}+\alpha_{k_2}e_{k_2}+..+\alpha_{k_n}e_{k_n}$, причем на базисных векторах

$$\begin{cases} f(e_k)=k,&\text{если $e_k \in E$;}\\ f(e_k)=0,&\text{если $e_k \notin E$.} \end{cases}$$

Получаем, что функционал $f$ не является ограниченным, и значит разрывен.
В итоге при доказательстве нигде не использовалось, что исходное пространство банахово.
Поскольку я не смог найти в книгах доказательство этого утверждения, хотел спросить на форуме, верно ли мое доказательство, и, если совсем не трудно, то подсказать книгу, где есть доказательство.

[Slav-27]

Всё правильно.

meshok в сообщении #1506452 писал(а):

В итоге при доказательстве нигде не использовалось, что исходное пространство банахово.

Не использовалось, что полное; но использовалось, что нормированное.

[ewert]

Ну уж коль пошла такая пьянка. Вообще-то неограниченный линейный функционал в банаховом (т.е. именно полном) пространстве, как и вообще неограниченный оператор, не может быть определён на всём пространстве. Во всяком случае, если он замкнут.

Так что апелляция к базису Гамеля -- это некое жульничество в стиле О.Бендера или О.Генри. Да, такой функционал существует, но предъявить его невозможно в принципе.

[iancaple]

Аналогичная тема https://dxdy.ru/topic110321.html