2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существование разрывного функционала в банаховом пространств
Сообщение24.02.2021, 18:30 


05/03/18
47
Доброго времени суток!
Увидел в одной книге фразу "взяв разрывный функционал $F$ на $B$ (такой существует на всяком бесконечномерном банаховом пространстве)". Решил попробовать доказать это утверждение.
Пусть $B$ - бесконечномерное банахово и $\{e_{\alpha}\}$ - базис Гамеля этого пространства. Выберем среди этих векторов счетный набор $E=\{e_k\}$ и нормируем их. Зададим на $B$ функционал $f$, действующий по следующему правилу: $f(v)=\alpha_{k_1}f(e_{k_1})+\alpha_{k_2}f(e_{k_2})+..+\alpha_{k_n}f(e_{k_n})$, где $v=\alpha_{k_1}e_{k_1}+\alpha_{k_2}e_{k_2}+..+\alpha_{k_n}e_{k_n}$, причем на базисных векторах
$$\begin{cases}
f(e_k)=k,&\text{если $e_k \in E$;}\\
f(e_k)=0,&\text{если $e_k \notin E$.}
\end{cases}$$
Получаем, что функционал $f$ не является ограниченным, и значит разрывен.
В итоге при доказательстве нигде не использовалось, что исходное пространство банахово.
Поскольку я не смог найти в книгах доказательство этого утверждения, хотел спросить на форуме, верно ли мое доказательство, и, если совсем не трудно, то подсказать книгу, где есть доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование разрывного функционала в банаховом пространств
Сообщение24.02.2021, 19:18 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Всё правильно.
meshok в сообщении #1506452 писал(а):
В итоге при доказательстве нигде не использовалось, что исходное пространство банахово.
Не использовалось, что полное; но использовалось, что нормированное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование разрывного функционала в банаховом пространств
Сообщение24.02.2021, 20:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну уж коль пошла такая пьянка. Вообще-то неограниченный линейный функционал в банаховом (т.е. именно полном) пространстве, как и вообще неограниченный оператор, не может быть определён на всём пространстве. Во всяком случае, если он замкнут.

Так что апелляция к базису Гамеля -- это некое жульничество в стиле О.Бендера или О.Генри. Да, такой функционал существует, но предъявить его невозможно в принципе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование разрывного функционала в банаховом пространств
Сообщение26.02.2021, 09:04 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Аналогичная тема https://dxdy.ru/topic110321.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group