2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение22.02.2021, 17:02 


26/11/17
6
Здравствуйте. В учебнике математического анализа Зорича в упражнении 3.h) третьего параграфа первой главы (издание 2020 года) требуется доказать, что $f^{-1}(A' \setminus\ B')=f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B')$, где $Y \supset\ A' \supset\ B'$.
Дело в том, что, проводя доказательство этого равенства, мне нигде не приходилось пользоваться условием $Y \supset\ A' \supset\ B'$, хотя Зорич его и упоминает именно перед этим упражнением. Нарисовав круги Эйлера, я понял, что то, что я доказал, действительно неверно для пересекающихся множеств A' и B', но найти ошибку в доказательстве, к сожалению, не получается. Хотелось бы попросить вашей помощи. Доказательство ниже. Спасибо.

$ x \in\ f^{-1}(A' \setminus\ B') \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \setminus\ B' \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \wedge\ f(x) \notin\ B' \Rightarrow\ x \in\ $$ f^{-1}(A') \wedge\ x \notin\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B') $
$ x \in\ f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A') \wedge\ x \notin\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \wedge\ f(x) $$ \notin\ B' \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \setminus\ B' \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A' \setminus\ B') $

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение22.02.2021, 18:07 


30/09/18
82
А покажите ваши круги Эйлера. У меня выходит, что верно и для пересекающихся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение22.02.2021, 23:19 
Заслуженный участник


23/07/08
8728
Харьков
Рекомендуется сначала выполнить упражнения f),i). Очевидно, они не зависят от условия $A'\supset B'$. Тогда
$$f^{-1}(A'\setminus B')=f^{-1}(A'\cap\,\complement_Y B')\stackrel{\text{упр. f)}}{=}f^{-1}(A')\cap f^{-1}(\complement_Y B')\stackrel{\text{упр. i)}}{=}f^{-1}(A')\cap\,\complement_X f^{-1}(B')=f^{-1}(A')\setminus f^{-1}(B')$$

P. S. Почему у Зорича нет простой и важной формулы
$A\setminus B=A\cap\,\complement_M B$,
где $A,B$ — подмножества $M$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение23.02.2021, 14:27 
Заслуженный участник


23/07/08
8728
Харьков
korytko
marie-la права, тут нужно в кругах Эйлера искать ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение23.02.2021, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27926
Я бы вообще на классы перешёл: $A\setminus B = A\cap\overline B$, с учётом, что пересечение класса с множеством — всегда множество (это даже аксиома выделения), так что мы можем любые промежуточные выкладки сделать и потом сразу знать, что результат — множество (а не собственный класс).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: misha.physics


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group