Упражнение на равенство множеств из Зорича

[korytko]

Здравствуйте. В учебнике математического анализа Зорича в упражнении 3.h) третьего параграфа первой главы (издание 2020 года) требуется доказать, что $f^{-1}(A' \setminus\ B')=f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B')$, где $Y \supset\ A' \supset\ B'$.
Дело в том, что, проводя доказательство этого равенства, мне нигде не приходилось пользоваться условием $Y \supset\ A' \supset\ B'$, хотя Зорич его и упоминает именно перед этим упражнением. Нарисовав круги Эйлера, я понял, что то, что я доказал, действительно неверно для пересекающихся множеств A' и B', но найти ошибку в доказательстве, к сожалению, не получается. Хотелось бы попросить вашей помощи. Доказательство ниже. Спасибо.

$ x \in\ f^{-1}(A' \setminus\ B') \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \setminus\ B' \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \wedge\ f(x) \notin\ B' \Rightarrow\ x \in\ $$ f^{-1}(A') \wedge\ x \notin\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B') $
$ x \in\ f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A') \wedge\ x \notin\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \wedge\ f(x) $$ \notin\ B' \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \setminus\ B' \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A' \setminus\ B') $

[marie-la]

А покажите ваши круги Эйлера. У меня выходит, что верно и для пересекающихся.

[svv]

Рекомендуется сначала выполнить упражнения f),i). Очевидно, они не зависят от условия $A'\supset B'$. Тогда

$$f^{-1}(A'\setminus B')=f^{-1}(A'\cap\,\complement_Y B')\stackrel{\text{упр. f)}}{=}f^{-1}(A')\cap f^{-1}(\complement_Y B')\stackrel{\text{упр. i)}}{=}f^{-1}(A')\cap\,\complement_X f^{-1}(B')=f^{-1}(A')\setminus f^{-1}(B')$$

P. S. Почему у Зорича нет простой и важной формулы
$A\setminus B=A\cap\,\complement_M B$,
где $A,B$ — подмножества $M$ ?

[svv]

korytko
marie-la права, тут нужно в кругах Эйлера искать ошибку.

[arseniiv]

Я бы вообще на классы перешёл: $A\setminus B = A\cap\overline B$, с учётом, что пересечение класса с множеством — всегда множество (это даже аксиома выделения), так что мы можем любые промежуточные выкладки сделать и потом сразу знать, что результат — множество (а не собственный класс).