2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение22.02.2021, 17:02 


26/11/17
6
Здравствуйте. В учебнике математического анализа Зорича в упражнении 3.h) третьего параграфа первой главы (издание 2020 года) требуется доказать, что $f^{-1}(A' \setminus\ B')=f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B')$, где $Y \supset\ A' \supset\ B'$.
Дело в том, что, проводя доказательство этого равенства, мне нигде не приходилось пользоваться условием $Y \supset\ A' \supset\ B'$, хотя Зорич его и упоминает именно перед этим упражнением. Нарисовав круги Эйлера, я понял, что то, что я доказал, действительно неверно для пересекающихся множеств A' и B', но найти ошибку в доказательстве, к сожалению, не получается. Хотелось бы попросить вашей помощи. Доказательство ниже. Спасибо.

$ x \in\ f^{-1}(A' \setminus\ B') \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \setminus\ B' \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \wedge\ f(x) \notin\ B' \Rightarrow\ x \in\ $$ f^{-1}(A') \wedge\ x \notin\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B') $
$ x \in\ f^{-1}(A') \setminus\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A') \wedge\ x \notin\ f^{-1}(B') \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \wedge\ f(x) $$ \notin\ B' \Rightarrow\ f(x) \in\ A' \setminus\ B' \Rightarrow\ x \in\ f^{-1}(A' \setminus\ B') $

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение22.02.2021, 18:07 


30/09/18
82
А покажите ваши круги Эйлера. У меня выходит, что верно и для пересекающихся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение22.02.2021, 23:19 
Заслуженный участник


23/07/08
8729
Харьков
Рекомендуется сначала выполнить упражнения f),i). Очевидно, они не зависят от условия $A'\supset B'$. Тогда
$$f^{-1}(A'\setminus B')=f^{-1}(A'\cap\,\complement_Y B')\stackrel{\text{упр. f)}}{=}f^{-1}(A')\cap f^{-1}(\complement_Y B')\stackrel{\text{упр. i)}}{=}f^{-1}(A')\cap\,\complement_X f^{-1}(B')=f^{-1}(A')\setminus f^{-1}(B')$$

P. S. Почему у Зорича нет простой и важной формулы
$A\setminus B=A\cap\,\complement_M B$,
где $A,B$ — подмножества $M$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение23.02.2021, 14:27 
Заслуженный участник


23/07/08
8729
Харьков
korytko
marie-la права, тут нужно в кругах Эйлера искать ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение на равенство множеств из Зорича
Сообщение23.02.2021, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27926
Я бы вообще на классы перешёл: $A\setminus B = A\cap\overline B$, с учётом, что пересечение класса с множеством — всегда множество (это даже аксиома выделения), так что мы можем любые промежуточные выкладки сделать и потом сразу знать, что результат — множество (а не собственный класс).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group