Теорема о вложениях 3-многообразий

[GYNJ]

В одной статье наткнулся на факт, который утверждает, что если трехмерное многообразие $M^{3}$ вкладывается в сферу $S^{4}$, тогда $H_{1}(M^{3})=G \oplus G$, где G- абелева группа конечного порядка.

Есть ли какая-нибудь литература, на русском, в которой доказывается этот факт? В книжках, связанных с 3-многообразиями что я знаю, такого факта не нашел.

[Slav-27]

$S^1\times S^2$ вкладывается, например (край трубчатой окрестности сферы).

[GYNJ]

Ой, Опечатка вышла, следствие такое: $tor(H_{1}(M^{3}))=G \oplus G$, где G- абелева конченого порядка.
Тогда все в порядке: $ tor(H_{1}(S^{1}\times S^{2}))=tor(\pi_{1}^{ab}(S^{1}\times S^{2}))=tor(\mathbb{Z})=e $

[Slav-27]

Да, забавно. Вроде бы как-то так:
1) $M$ разделяет $S^4$ на 2 части $A$ и $B$.
2) Из последовательности Майера -- Вьеториса $H_1(M)\simeq H_1(A)\oplus H_1(B)$.
3) По двойственности Александера $H_1(B)\simeq H^2(A)$.
4) По формуле универсальных коэффициентов кручение $H^2(A)$ изоморфно кручению $H_1(A)$.

[GYNJ]

Если это единственный способ доказательства, то, видимо рано еще. Я тут только Майера-Вьеториса знаю.
Можно ли как-нибудь попроще?

[Slav-27]

Не знаю( Я вообще этот факт узнал от вас.

Формула универсальных коэффициентов -- это не очень сложно. Это про то, что $H_*(X,\mathbb Z)$ определяет с точностью до изоморфизма $H^*(X,\mathbb Z)$ (как градуированную абелеву группу, не как кольцо), а также $H_*(X,A)$ и $H^*(X,A)$ для любой абелевой группы $A$.

Двойственность -- сложнее. Про неё можно в первую очередь почитать параграф про многообразия в зелёном Фуксе-Фоменко. Доказательства там прописаны не полностью -- это не только плохо, но и хорошо, потому что если аккуратно прописывать всё, то получается очень громоздко.

[GYNJ]

Хорошо, спасибо, попробую двойственность в Фуксе-Фоменко прочитать.

[GYNJ]

У меня вообще вопрос возник: есть ли аналог для вложения многообразий в $S^{3}$? Ну например я рассмотрю какое-нибудь 2-многобразие(ориентируемое например) как клеточный комплекс, понятно что можно склеить клетки соответствующих размерностей и получить какое-нибудь другое 2-многообразие или уже 3-многообразие ( $L(p,q)$ например). Я к тому спрашиваю, что можно ы 2-многообразии расставить так много стрелок для факторизации, что наглядно понять может быть сложно

Пока что мне видится, как условие необходимости, это нулевые $\pi_{1}$ и $\pi_{2}$

[Slav-27]

Я ничего не понял в вашем вопросе, увы.

[Padawan]

Slav-27 в сообщении #1504207 писал(а):

1) $M$ разделяет $S^4$ на 2 части $A$ и $B$.

А почему? Может, не разделяет?

[Slav-27]

По двойствнности Александера с коэффициентами в $\mathbb Z_2$. Это если оно замкнуто, если нет, то это всё не работает, да.

-- 13.02.2021, 00:28 --

Для незамкнутых $M$ исходное утверждение (про кручение $H_1$) и не верно, небось. Вот, например, бывает же иммерсия бутылки Клейна в $\mathbb R^3\subset\mathbb R^4$. Интуитивно кажется, что если образ чуть-чуть утолщить в $\mathbb R^3$ и пошевелить в $\mathbb R^4$, то получится вложение тотального пространства какого-то линейного расслоения над бутылкой Клейна в $\mathbb R^4$.