2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение04.02.2021, 21:02 


31/01/20
51
В одной статье наткнулся на факт, который утверждает, что если трехмерное многообразие $M^{3}$ вкладывается в сферу $S^{4}$, тогда $H_{1}(M^{3})=G \oplus G$, где G- абелева группа конечного порядка.

Есть ли какая-нибудь литература, на русском, в которой доказывается этот факт? В книжках, связанных с 3-многообразиями что я знаю, такого факта не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение04.02.2021, 22:22 
Заслуженный участник


14/10/14
991
$S^1\times S^2$ вкладывается, например (край трубчатой окрестности сферы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение05.02.2021, 16:52 


31/01/20
51
Ой, Опечатка вышла, следствие такое: $tor(H_{1}(M^{3}))=G \oplus G$, где G- абелева конченого порядка.
Тогда все в порядке: $ tor(H_{1}(S^{1}\times S^{2}))=tor(\pi_{1}^{ab}(S^{1}\times S^{2}))=tor(\mathbb{Z})=e $

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение05.02.2021, 22:12 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Да, забавно. Вроде бы как-то так:
1) $M$ разделяет $S^4$ на 2 части $A$ и $B$.
2) Из последовательности Майера -- Вьеториса $H_1(M)\simeq H_1(A)\oplus H_1(B)$.
3) По двойственности Александера $H_1(B)\simeq H^2(A)$.
4) По формуле универсальных коэффициентов кручение $H^2(A)$ изоморфно кручению $H_1(A)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение07.02.2021, 20:32 


31/01/20
51
Если это единственный способ доказательства, то, видимо рано еще. Я тут только Майера-Вьеториса знаю.
Можно ли как-нибудь попроще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение08.02.2021, 10:49 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Не знаю( Я вообще этот факт узнал от вас.

Формула универсальных коэффициентов -- это не очень сложно. Это про то, что $H_*(X,\mathbb Z)$ определяет с точностью до изоморфизма $H^*(X,\mathbb Z)$ (как градуированную абелеву группу, не как кольцо), а также $H_*(X,A)$ и $H^*(X,A)$ для любой абелевой группы $A$.

Двойственность -- сложнее. Про неё можно в первую очередь почитать параграф про многообразия в зелёном Фуксе-Фоменко. Доказательства там прописаны не полностью -- это не только плохо, но и хорошо, потому что если аккуратно прописывать всё, то получается очень громоздко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение10.02.2021, 01:45 


31/01/20
51
Хорошо, спасибо, попробую двойственность в Фуксе-Фоменко прочитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение11.02.2021, 01:16 


31/01/20
51
У меня вообще вопрос возник: есть ли аналог для вложения многообразий в $S^{3}$? Ну например я рассмотрю какое-нибудь 2-многобразие(ориентируемое например) как клеточный комплекс, понятно что можно склеить клетки соответствующих размерностей и получить какое-нибудь другое 2-многообразие или уже 3-многообразие ( $L(p,q)$ например). Я к тому спрашиваю, что можно ы 2-многообразии расставить так много стрелок для факторизации, что наглядно понять может быть сложно

Пока что мне видится, как условие необходимости, это нулевые $\pi_{1}$ и $\pi_{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение11.02.2021, 10:36 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Я ничего не понял в вашем вопросе, увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение12.02.2021, 19:51 
Заслуженный участник


13/12/05
4203
Slav-27 в сообщении #1504207 писал(а):
1) $M$ разделяет $S^4$ на 2 части $A$ и $B$.

А почему? Может, не разделяет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложениях 3-многообразий
Сообщение12.02.2021, 23:02 
Заслуженный участник


14/10/14
991
По двойствнности Александера с коэффициентами в $\mathbb Z_2$. Это если оно замкнуто, если нет, то это всё не работает, да.

-- 13.02.2021, 00:28 --

Для незамкнутых $M$ исходное утверждение (про кручение $H_1$) и не верно, небось. Вот, например, бывает же иммерсия бутылки Клейна в $\mathbb R^3\subset\mathbb R^4$. Интуитивно кажется, что если образ чуть-чуть утолщить в $\mathbb R^3$ и пошевелить в $\mathbb R^4$, то получится вложение тотального пространства какого-то линейного расслоения над бутылкой Клейна в $\mathbb R^4$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group