Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом

[Feldhamster]

Олимпиадная задача для 7 класса по физике

Текст задачи: Подвешенная к потолку за один конец пружина растягивается под действием собственного веса на 1 см. На сколько изменится растяжение пружины, если к ней подвесить груз, масса которого вдвое больше массы пружины?

Ответ: Растяжение увеличится на 4 см и станет равным 5 см.

Решение: В отсутствие груза увеличение расстояния между двумя верхними витками пружины пропорционально ее весу, а увеличение расстояния между нижними витками пренебрежимо мало. Общее удлинение пружины можно представить как произведение числа витков пружины на среднее увеличение расстояния между соседними витками, которое, очевидно, равно половине увеличения расстояния между верхними витками. При подвешенном грузе увеличение расстояния между верхними витками будет пропорционально утроенному весу пружины (т.е. в 3 раза больше, чем в отсутствие груза), а между нижними – пропорционально удвоенному весу пружины. Среднее увеличение расстояния между витками будет в 5 раз больше, чем в отсутствие груза. Следовательно, и удлинение пружины будет в 5 раз больше.

Комментарий:

Как видно, в решении есть допущение о том, что «верхние витки растягиваются», а «нижние витки не растягиваются». Мне такое допущение показалось не строгим (хотя, для седьмого класса, когда ученики еще не проходили арифметическую прогрессию, может быть и нет, но все же), и поэтому я попытался решить эту задачу, используя арифметическую прогрессию. Полное решение не выкладываю, но в результате, после всех преобразований (проверил два раза) у меня получилось:

$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{4M}{(n-1)m} +1$, где:

$\Delta L_2$ – растяжение пружины после подвеса груза;
$\Delta L_1$ – растяжение пружины без подвеса груза (под собственным весом);
$M$ – масса пружины;
$n$ – количество витков пружины;
$m$ – масса одного витка пружины.

Если допустить, что $M \gg m$, и учитывая, что $M = mn$, то $(n-1)$ можно считать приблизительно равным $n$. И тогда $(n-1)m = nm = M$.

И значит выражение:

$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{4M}{(n-1)m}+1$

можно записать как:

$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{4M}{M}+1 = 4+1 = 5$

То есть \Delta L_2 в 5 раз больше \Delta L_1 и равно 5 см. Тогда получается верный ответ задачи: $5-1= 4$ см.

Только вопрос, а «законно» ли такое допущение: $M \gg m$?

Интуитивно я понимаю, что масса одного, самого верхнего витка пружины (совпадающего по горизонтальному уровню с точкой подвеса пружины) в растяжении пружины не участвует, но как это понимание вставить в решение, чтобы оно получилось без $M \gg m$, непонятно.

Помогите разобраться.

[EUgeneUS]

1. Формулы тут (на форуме) принято набирать в ЛаТеХе
2. Подробно с Вашим решение не разбирался, но раз Вы получили правильный ответ, ошибок в нём скорее всего нет.
3. И авторское решение, и Ваше основано на том, что витков много ($M \gg m$, $n \gg$ 1). Но факт в том, что ответ будет верным и для большого количество витков, и для малого, и даже если вообще витков нет, то есть для массивной резинки.

Как можно получить ответ в более общем случае:
1. Разбиваем пружинку\резинку на много маленьких одинаковых участков (пусть на $n$). Участок не обязательно является целым витком, он может быть любой частью витка. Или частью массивной резинки.
2. Каждый участок представляем как невесомую пружинку и грузик, подвешенный к ней.
4. Записываем удлинение пружинки\резинки для конечного $n$
3. После чего устремляем количество участков к бесконечности ($n \to \infty$) и получаем ответ.

Для школьника 7-го класса это может оказаться излишне сложным, так как требует применение предельного перехода ($n \to \infty$).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[vpb]

(Оффтоп)

Я знаю, конечно, что обсуждение ников --- это, формально говоря, нарушение. Но, господа, "Хомяк полевой" --- это великолепно ! это звучит гордо ! (c)

[Feldhamster]

Решил эту задачу без допущений $M \gg m$ и $n \gg 1$, но с допущением, что самый верхний виток в растяжении пружины не участвует. Помогла мне эта мысль:

EUgeneUS в сообщении #1504808 писал(а):

ответ будет верным и для большого количество витков, и для малого

Зашел с другого конца и обозначил массу одного витка как долю от массы пружины в зависимости от количества витков: $m = \frac {M}{n}$

Для пружины без груза:

$\Delta l_1 = \frac {Mg}{nk}; \qquad \Delta l_2 = 2\frac {Mg}{nk}; \qquad \Delta l_n = (n-1)\frac {Mg}{nk}$

$$\Delta L_1 = \sum \limits_{i=1}^n \Delta l_i = \left(\frac {\frac {Mg}{nk} + (n-1)\frac {Mg}{nk}}{2} \right)n = \frac {Mgn}{2k}$$

Для пружины c грузом:

$\Delta l_1 = \left(2M+\frac {M}{n} \right) \frac {g}{k} = \frac {2Mg}{k} + \frac {Mg}{nk}; \; \Delta l_2 = \frac {2Mg}{k} + 2\frac {Mg}{nk}; \; \Delta l_n = \frac {2Mg}{k} + (n-1)\frac {Mg}{nk}$

$$\Delta L_2 = \sum \limits_{i=1}^n \Delta l_i = \left(\frac {\frac {2Mg}{k} + \frac {Mg}{nk} + \frac {2Mg}{k} + (n-1)\frac {Mg}{nk}}{2} \right)n = 5\frac {Mgn}{2k}$$

$$\frac {\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left(\frac {5\frac {Mgn}{2k}}{\frac {Mgn}{2k}}\right) = 5$$

[fred1996]

Задачка решается практически без вычислений с помощью теории размерностей.
Очевидно, что $\Delta L=\alpha\frac{mg}{k}$
Откуда сразу следует ответ.

[svv]

fred1996
А что здесь $m$? Удлинение зависит и от массы пружины, и от массы груза, но коэффициенты при этих массах разные.

[fred1996]

svv
$m$ - это масса пружины. Соедините три таких пружины последовательно. Получите новую пружину с массой $3m$ И к-том жёсткости $k/3$
Эта новая пружина и есть ваша пружина массы $m$ и груза массы $2m$

[Feldhamster]

fred1996 в сообщении #1505004 писал(а):

Задачка решается практически без вычислений с помощью теории размерностей.
Очевидно, что $\Delta L=\alpha\frac{mg}{k}$
Откуда сразу следует ответ.

Если можно, разверните чуть подробнее, как решить с помощью теории размерностей. Подсказка про три последовательных пружины не помогла.

[VASILISK11]

Feldhamster в сообщении #1505111 писал(а):

Подсказка про три последовательных пружины не помогла.

Возьмите две последовательные пружины. Так можно вычислить коэффициент жесткости одной пружины для груза, заменяя нижнюю пружину грузом.

[Feldhamster]

VASILISK11 в сообщении #1505112 писал(а):

Feldhamster в сообщении #1505111 писал(а):

Подсказка про три последовательных пружины не помогла.

Возьмите две последовательные пружины. Так можно вычислить коэффициент жесткости одной пружины для груза, заменяя нижнюю пружину грузом.

У конструкции "две последовательно соединенные пружины" жесткость равна $k/2$, а если нижнюю пружину в этой конструкции заменить на груз, то пружина останется одна и жесткость у нее $k$. Не пойму, в чем смысл.

[VASILISK11]

Feldhamster в сообщении #1505117 писал(а):

У конструкции "две последовательно соединенные пружины" жесткость равна $k/2$, а если нижнюю пружину в этой конструкции заменить на груз, то пружина останется одна и жесткость у нее $k$. Не пойму, в чем смысл.

Смысл в том, что растяжения складываются линейно. Жесткость пружины уменьшилась вдвое, а масса возросла вдвое, следовательно, растяжение увеличилось в четыре раза. Потом, из этого растяжения, вычитаются растяжения пружин без грузов.

[Feldhamster]

VASILISK11 в сообщении #1505119 писал(а):

Жесткость пружины уменьшилась вдвое, а масса возросла вдвое, следовательно, растяжение увеличилось в четыре раза. Потом, из этого растяжения, вычитаются растяжения пружин без грузов.

Отсюда выходит, что последовательно удвоенная пружина без груза растянулась на 4 см. И что нужно учитывать, что часть этого растяжения обеспечила одинарная пружина без груза. Эта часть 1 см. Значит, "собственное" растяжение последовательно удвоенной пружины составило 3 см, что верно. Но верхняя пружина в составе удвоенной пружины имеет коэффициент жесткости $k/2$, а не $k$, когда она в одиночку и без груза растягивается на 1 см. И значит, верхняя пружина в составе из двух пружин имеет другое растяжение.

Но если нижнюю пружину заменить на груз массой $m$, то в такой системе останется только одна пружина с коэффициентом жесткости $k$. И тогда правомерно считать, что верхняя пружина без груза растянулась на 1 см. Но в этом случае нет второй пружины, которая растягивается. ))

То же самое и для последовательно утроенной пружины без груза. Она растянулась на 9 см. Отсюда нужно отнять "собственное" растяжение последовательно удвоенной пружины, растянутой без груза (3 см) и растяжение одинарной пружины без груза (1 см). Получается 5 см, что тоже верно. Но...

Что-то запутался.

[AnatolyBa]

fred1996 в сообщении #1505004 писал(а):

Очевидно, что $\Delta L=\alpha\frac{mg}{k}$

А очевидно, что от длины в нерастянутом состоянии не зависит?