Олимпиадная задача для 7 класса по физикеТекст задачи: Подвешенная к потолку за один конец пружина растягивается под действием собственного веса на 1 см. На сколько изменится растяжение пружины, если к ней подвесить груз, масса которого вдвое больше массы пружины?
Ответ: Растяжение увеличится на 4 см и станет равным 5 см.
Решение: В отсутствие груза увеличение расстояния между двумя верхними витками пружины пропорционально ее весу, а увеличение расстояния между нижними витками пренебрежимо мало. Общее удлинение пружины можно представить как произведение числа витков пружины на среднее увеличение расстояния между соседними витками, которое, очевидно, равно половине увеличения расстояния между верхними витками. При подвешенном грузе увеличение расстояния между верхними витками будет пропорционально утроенному весу пружины (т.е. в 3 раза больше, чем в отсутствие груза), а между нижними – пропорционально удвоенному весу пружины. Среднее увеличение расстояния между витками будет в 5 раз больше, чем в отсутствие груза. Следовательно, и удлинение пружины будет в 5 раз больше.
Комментарий:Как видно, в решении есть допущение о том, что «верхние витки растягиваются», а «нижние витки не растягиваются». Мне такое допущение показалось не строгим (хотя, для седьмого класса, когда ученики еще не проходили арифметическую прогрессию, может быть и нет, но все же), и поэтому я попытался решить эту задачу, используя арифметическую прогрессию. Полное решение не выкладываю, но в результате, после всех преобразований (проверил два раза) у меня получилось:
– растяжение пружины после подвеса груза;
– растяжение пружины без подвеса груза (под собственным весом);
– масса пружины;
– количество витков пружины;
– масса одного витка пружины.
Если допустить, что
, и учитывая, что
, то
можно считать приблизительно равным
. И тогда
.
И значит выражение:
можно записать как:
То есть
в 5 раз больше
и равно 5 см. Тогда получается верный ответ задачи:
см.
Только вопрос, а «законно» ли такое допущение:
?
Интуитивно я понимаю, что масса одного, самого верхнего витка пружины (совпадающего по горизонтальному уровню с точкой подвеса пружины) в растяжении пружины не участвует, но как это понимание вставить в решение, чтобы оно получилось без
, непонятно.
Помогите разобраться.