Варианты доказательства

[dick]

Докажем что равенство $x^3 +y^3=z^3$ (1) не может выполняться для натуральных, взаимно простых $x,y,z$.
Пусть $y$-четное, а $x,z$-нечетные числа и $z>y>x$.
Если выполняется (1), то $x+y=z+a$ (2), где $a$-четное натуральное число.
Перепишем (1) и (2): $x^3= (z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1); $z-y=x-a$ (2.1);
После возведения (2.1) в степень 3, убедимся, что $a$ кратно 3 и значит кратно 6, и кроме того $x$, или $y$, или $z$ кратно 3.
Если выполняется (1), его левая и правая части это числа одной формы. Ясно, что четное и нечетное числа не могут иметь одинаковую форму, также как числа, одно из которых кратно 3, а другое нет. Нечетные степени сохраняют форму оснований, поэтому числами имеющими одинаковую форму являются $x$ и $z$, а $y$ также как $a$, делится на 6 и имеет форму $6n$.
Поскольку наше решение примитивно и (1.1) пропорционально $(z-y)$, а само $(z-y)$ является кубом, потому что $x$ не делится на 3, нужно признать, что $(z-y)=1^3$, а все прочие нечетные кубы являются непримитивными решениями (1).
Таким образом, (1) при заданных условиях приобретает вид:
$(6n+1)^3 =z^3-(z-1)^3$ (1.2).
Ранее я показывал, почему не может выполняться это равенство.

[mihaild]

dick в сообщении #1504560 писал(а):

его левая и правая части это числа одной формы

Понятие "числа одной формы" не определено.

[dick]

Под числами одной формы я понимаю натуральные числа, которые при делении на заданное меньшее натуральное число дают одинаковый остаток. В частности, для нашего случая, меньшим из четверки чисел (2.1) является $a$, наименьшим значением которого является 6. Поэтому числа $x,y,z$ имеют форму $6n+b$, где $b$ принимает значения от 0 до 5, а $n$ - любое натуральное.

[Someone]

dick в сообщении #1504560 писал(а):

Поскольку наше решение примитивно и (1.1) пропорционально $(z-y)$, а само $(z-y)$ является кубом, потому что $x$ не делится на 3, нужно признать, что $(z-y)=1^3$

То есть, Вы хотите сказать, что $x$ и $z-y$ взаимно просты? Где доказательство?

[dick]

По-моему, понятие взаимной простоты не распространяется на единицу.

[Valprim]

dick в сообщении #1504560 писал(а):

Поскольку наше решение примитивно и (1.1) пропорционально $(z-y)$, а само $(z-y)$ является кубом, потому что $x$ не делится на 3, нужно признать, что $(z-y)=1^3$, а все прочие нечетные кубы являются непримитивными решениями (1).

Числа и примитивного решения взаимно простые. Сокращать на $z-y$ некорректно. Не получится нового уравнения Ферма. Так как в результате сокращения получаем известный трином в прежних значениях $z,y$ и новую разность $z_1-y_1=1$. Надо доказать, что числа не могут быть взаимно простыми.

[dick]

Ответьте, пожалуйста, по пунктам:
1."Числа и примитивного решения взаимно простые."
Нужно ли понимать это так, что числа непримитивного решения взаимно просты. Если нет, то как понимать это "и".

2. "Сокращать на $z-y$ некорректно."
Укажите место, где я предлагаю что-либо сокращать.

3."Не получится нового уравнения Ферма."
Укажите место, где я говорю о новом уравнении Ферма.

4. "Так как в результате сокращения получаем известный трином в прежних значениях $z,y$ и новую разность $z_1-y_1=1$."
Поясните, как после деления на 1 Вы намерены получить новые $z,y$.

5. "Надо доказать, что числа не могут быть взаимно простыми".
Какие именно числа не могут быть взаимно простыми?

[binki]

"и" - это очевидно опечатка. Сокращение потому, что у Вас примитивное решение существует только при условии, что степень $z-y=1$. Что не доказано. Не доказано также, что $y$ кратно трем.
А какие числа у Вас еще есть, кроме чисел решения?

[Valprim]

dick в сообщении #1504560 писал(а):

поэтому числами имеющими одинаковую форму являются $x$ и $z$, а $y$ также как $a$, делится на 6 и имеет форму $6n$.

Почему $z-y$ не принимается просто как число имеющее ту же форму, что и $x$?
Встречные вопросы от Вас не принимаются.

[dick]

Valprim
Так ведь и я говорю, что в (1) обе части - числа одной формы.

"Встречные вопросы от Вас не принимаются".
Это только от меня? Или в целом?
Ничего не скажешь, строго! А если непонятно, что Вы написали? Может, хоть по записи?

Кстати, binki за Вас отвечает, это ничего? Верить можно?

[Valprim]

dick
Имелось в виду, что одной формы они могут быть и по числу $3$, не только по остаткам, но и быть кратными трем. Нет четкого доказательства, что $y$ кратно трем.
На форуме принято, что автор должен отвечать на вопросы, а не задавать встречные. Но в этом случае мой текст оставлял желание быть получше. Признаю, что был излишне категоричен . Так что без обид.

[vxv]

Valprim в сообщении #1504733 писал(а):

На форуме принято, что автор должен отвечать на вопросы, а не задавать встречные.

На форуме принято, что автор обязан отвечать на вопросы заслуженных участников (кроме невежливых). Вопросы незаслуженных участников ТС может по желанию просто игнорировать (особенно, если они недостаточно или ошибочно обоснованы).

[dick]

Valprim
Предположим что $y$ не кратно 3. Могут ли тогда $x$ и $z$ быть одной формы? И могут ли тогда части (1) быть одной формы?
На второй вопрос, ответ: "да", на первый -"нет". Согласны?

[Geen]

Никакие "части" не могут быть "одной формы" - всегда найдётся такое $n$, что заданные числа не сравнимы по модулю $n$.

[Valprim]

dick в сообщении #1504743 писал(а):

На второй вопрос, ответ: "да", на первый -"нет". Согласны?

Нет, не согласен. Присоединяюсь к мнению заслуженного участника Geen.
И привожу числовой пример, который хотя и не является решением для кубов, однако годится для сравнения по модулю (это то,что вы называете сравнение по форме) $73-46=33-6;\qquad y=46$. Как видим $y$ не делится на 3.