2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Варианты доказательства
Сообщение09.02.2021, 17:59 
Докажем что равенство $x^3 +y^3=z^3$ (1) не может выполняться для натуральных, взаимно простых $x,y,z$.
Пусть $y$-четное, а $x,z$-нечетные числа и $z>y>x$.
Если выполняется (1), то $x+y=z+a$ (2), где $a$-четное натуральное число.
Перепишем (1) и (2): $x^3=  (z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1); $z-y=x-a$ (2.1);
После возведения (2.1) в степень 3, убедимся, что $a$ кратно 3 и значит кратно 6, и кроме того $x$, или $y$, или $z$ кратно 3.
Если выполняется (1), его левая и правая части это числа одной формы. Ясно, что четное и нечетное числа не могут иметь одинаковую форму, также как числа, одно из которых кратно 3, а другое нет. Нечетные степени сохраняют форму оснований, поэтому числами имеющими одинаковую форму являются $x$ и $z$, а $y$ также как $a$, делится на 6 и имеет форму $6n$.
Поскольку наше решение примитивно и (1.1) пропорционально $(z-y)$, а само $(z-y)$ является кубом, потому что $x$ не делится на 3, нужно признать, что $(z-y)=1^3$, а все прочие нечетные кубы являются непримитивными решениями (1).
Таким образом, (1) при заданных условиях приобретает вид:
$(6n+1)^3 =z^3-(z-1)^3$ (1.2).
Ранее я показывал, почему не может выполняться это равенство.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение09.02.2021, 18:05 
Аватара пользователя
dick в сообщении #1504560 писал(а):
его левая и правая части это числа одной формы
Понятие "числа одной формы" не определено.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение09.02.2021, 22:46 
Под числами одной формы я понимаю натуральные числа, которые при делении на заданное меньшее натуральное число дают одинаковый остаток. В частности, для нашего случая, меньшим из четверки чисел (2.1) является $a$, наименьшим значением которого является 6. Поэтому числа $x,y,z$ имеют форму $6n+b$, где $b$ принимает значения от 0 до 5, а $n$ - любое натуральное.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение09.02.2021, 23:11 
Аватара пользователя
dick в сообщении #1504560 писал(а):
Поскольку наше решение примитивно и (1.1) пропорционально $(z-y)$, а само $(z-y)$ является кубом, потому что $x$ не делится на 3, нужно признать, что $(z-y)=1^3$
То есть, Вы хотите сказать, что $x$ и $z-y$ взаимно просты? Где доказательство?

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение10.02.2021, 09:54 
По-моему, понятие взаимной простоты не распространяется на единицу.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение10.02.2021, 17:41 
dick в сообщении #1504560 писал(а):
Поскольку наше решение примитивно и (1.1) пропорционально $(z-y)$, а само $(z-y)$ является кубом, потому что $x$ не делится на 3, нужно признать, что $(z-y)=1^3$, а все прочие нечетные кубы являются непримитивными решениями (1).

Числа и примитивного решения взаимно простые. Сокращать на $z-y$ некорректно. Не получится нового уравнения Ферма. Так как в результате сокращения получаем известный трином в прежних значениях $z,y$ и новую разность $z_1-y_1=1$. Надо доказать, что числа не могут быть взаимно простыми.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 12:01 
Ответьте, пожалуйста, по пунктам:
1."Числа и примитивного решения взаимно простые."
Нужно ли понимать это так, что числа непримитивного решения взаимно просты. Если нет, то как понимать это "и".

2. "Сокращать на $z-y$ некорректно."
Укажите место, где я предлагаю что-либо сокращать.

3."Не получится нового уравнения Ферма."
Укажите место, где я говорю о новом уравнении Ферма.

4. "Так как в результате сокращения получаем известный трином в прежних значениях $z,y$ и новую разность $z_1-y_1=1$."
Поясните, как после деления на 1 Вы намерены получить новые $z,y$.

5. "Надо доказать, что числа не могут быть взаимно простыми".
Какие именно числа не могут быть взаимно простыми?

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 12:40 
"и" - это очевидно опечатка. Сокращение потому, что у Вас примитивное решение существует только при условии, что степень $z-y=1$. Что не доказано. Не доказано также, что $y$ кратно трем.
А какие числа у Вас еще есть, кроме чисел решения?

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 13:26 
dick в сообщении #1504560 писал(а):
поэтому числами имеющими одинаковую форму являются $x$ и $z$, а $y$ также как $a$, делится на 6 и имеет форму $6n$.

Почему $z-y$ не принимается просто как число имеющее ту же форму, что и $x$?
Встречные вопросы от Вас не принимаются.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 15:29 
Valprim
Так ведь и я говорю, что в (1) обе части - числа одной формы.

"Встречные вопросы от Вас не принимаются".
Это только от меня? Или в целом?
Ничего не скажешь, строго! А если непонятно, что Вы написали? Может, хоть по записи?

Кстати, binki за Вас отвечает, это ничего? Верить можно?

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 16:16 
dick
Имелось в виду, что одной формы они могут быть и по числу $3$, не только по остаткам, но и быть кратными трем. Нет четкого доказательства, что $y$ кратно трем.
На форуме принято, что автор должен отвечать на вопросы, а не задавать встречные. Но в этом случае мой текст оставлял желание быть получше. Признаю, что был излишне категоричен . Так что без обид.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 18:24 
Аватара пользователя
Valprim в сообщении #1504733 писал(а):
На форуме принято, что автор должен отвечать на вопросы, а не задавать встречные.

На форуме принято, что автор обязан отвечать на вопросы заслуженных участников (кроме невежливых). Вопросы незаслуженных участников ТС может по желанию просто игнорировать (особенно, если они недостаточно или ошибочно обоснованы).

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 18:30 
Valprim
Предположим что $y$ не кратно 3. Могут ли тогда $x$ и $z$ быть одной формы? И могут ли тогда части (1) быть одной формы?
На второй вопрос, ответ: "да", на первый -"нет". Согласны?

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение11.02.2021, 23:44 
Аватара пользователя
Никакие "части" не могут быть "одной формы" - всегда найдётся такое $n$, что заданные числа не сравнимы по модулю $n$.

 
 
 
 Re: Варианты доказательства
Сообщение12.02.2021, 07:44 
dick в сообщении #1504743 писал(а):
На второй вопрос, ответ: "да", на первый -"нет". Согласны?

Нет, не согласен. Присоединяюсь к мнению заслуженного участника Geen.
И привожу числовой пример, который хотя и не является решением для кубов, однако годится для сравнения по модулю (это то,что вы называете сравнение по форме) $73-46=33-6;\qquad y=46$. Как видим $y$ не делится на 3.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group