Заряд вблизи плоского конденсатора

[amon]

AnatolyBa в сообщении #1504095 писал(а):

поле, опять же в пренебрежении краевыми эффектами, считается как поле однородного двойного слоя

Я уже согласился. Просто на радостях от того, что получилось, в каком-то смысле, точное решение, я забыл, что заряд стоит вблизи пластины.

[AnatolyBa]

Ignatovich в сообщении #1504097 писал(а):

Но по учету краевых эффектов внятных идей нет

Известно поле (есть точное решение) на краю плоского конденсатора - двумерная задача. Отклонение от однородного поля - где-то в пределах расстояния $d$ (толщина конденсатора) от края. Вот это и можно использовать

[Ignatovich]

Те же рассуждения и тот же метод позволяют найти разность потенциалов и в случае, когда точечный заряд находится внутри плоского конденсатора вдали от краев пластин:

$V=\frac{q}{C}\frac{x}{d}$,

где d-расстояние между пластинами, x- смещение заряда от плоскости симметрии.

[AnatolyBa]

Ignatovich
Вы имеете в виду рассуждение realeugene (как вы писали, оно соответствует вашей задумке)?
Но как вы получаете линейную зависимость от $x$?
Я согласен с результатом, но я получил его намного более сложным образом.

[Ignatovich]

AnatolyBa, исходную задачку я решал с помощью рассуждений, которые привел realeygene.
Amon напомнил теорему взаимности (Спасибо!). С ее помощью вмиг получается решение исходной задачи, а также похожих задач про точечный заряд внутри проводящих сферических и цилиндрических проводящих оболочек. Легко выводится формула для разности потенциалов в случае, когда заряд, располагается внутри плоского конденсатора. Эту формулу я привел.
Задачи про сферические и цилиндрические оболочки можно решить и без использования теоремы взаимности, по крайней мере, в случае, когда заряд находится между оболочками. Думал, что и в случае плоского конденсатора простых соображений будет достаточно для получения простой линейной зависимости. Но ошибся. Легкомысленно написал: "те же рассуждения...". Без теоремы взаимности получить результат мне не удалось. Видимо, нужно суммировать поля от множества последовательных изображений. Может быть, вы напишите о своем решении.

[AnatolyBa]

Понятно, спасибо. Строго говоря, при всем уважении, теорема взаимности несколько излишня, в данных задачах требуется только симметрия потенциальных коэффициентов.
Я получил результат исследуя точное решение для заряде между бесконечными пластинами. Это чересчур сложно и даже глупо для этой задачи. Но, что-то потянуло на точные решения.
Как ни странно, в общеизвестных учебниках я точного решения не нашел, но нашел у Гринберга. Кроме того, кажется решение через множество отражений есть у Куранта, Гильберта, но я не проверял.

[Ignatovich]

AnatolyBa, спасибо. Действительно, с множественными отражениями все громоздко. В этой свежей статье из AJP вычисляется сила: https://aapt.scitation.org/doi/suppl/10.1119/10.0000302/suppl_file/douglas_goodman.pdf