2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение31.01.2021, 08:32 


21/07/20
157
К уединенному плоскому незаряженному конденсатору емкостью C с круглыми обкладками снаружи подносят точечный заряд q, располагая его на расстоянии a от ближайшей обкладки конденсатора на его оси симметрии. Найдите разность потенциалов между обкладками конденсатора. Расстояние а значительно меньше радиуса обкладок R.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение31.01.2021, 10:58 


27/08/16
8581

(Оффтоп)

$U=q/C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение01.02.2021, 08:12 


21/07/20
157

(Оффтоп)

Realeugene, у меня иначе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение01.02.2021, 15:23 


27/08/16
8581

(Оффтоп)

Есть ещё рукомахательный вариант $\frac q{2C}$. Пожалуй, он более правильный, чем $q/C$. Из линейности и соображений размерности очевидно, что ответ пропорционален $q/C$.

Предположим, что пластина одна. Если $a \ll R$, вблизи заряда $q$ на внешней поверхности пластины собирается заряд $-q$ выглядящий как зеркальное изображение. Тогда поля внутри пластины больше не будет, но чтобы заряд этой пластины был суммарно нулевым, размажем ещё заряд $q$ равномерно по обеим поверхностям пластины. Теперь добавим очень близко вблизи вторую тонкую параллельную пластину, которая в пренебрежении краевыми эффектами ни на что не влияет, так как она всюду перпендикулярна напряженности поля.

Но, на самом деле, так как нам даны радиус пластины и ёмкость, нам дано и расстояние между пластинами $d$. И безразмерный коэффициент пропорциональности может оказаться сложной функцией $d/R$.

PS На самом деле, из симметрии плоского циллиндрического конденсатора и рассмотрения его чётной и нечётной уединённых ёмкостей следует, что $U=\frac q{2C}$ вне зависимости от расстояния между пластинами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение01.02.2021, 17:48 
Заслуженный участник


21/09/15
998

(Оффтоп)

Я решал так. Пусть на пластинах индуцируются заряды с поверхностной плотностью $\sigma_1, \sigma_2$. Напряженность между пластинами (берем только нормальную составляющую) постоянна и складывается из напряженности от заряда $q$ и от $2\pi(\sigma_1-\sigma_2)$. Здесь принципиальна форма конденсатора и то, что он предполагается тонким. Интегрируем по поверхности пластин и учитываем, что $\int\limits_{}^{}\sigma_i dS = 0$. В конце концов у меня получилось $U=2q/C$. Арифметику не гарантирую. Если не требовать $a<<R$, то формула получается несколько сложней, но не слишком

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение01.02.2021, 18:19 


27/08/16
8581

(Оффтоп)

Когда заряд $q$ вблизи пластины, не обязательно по центру, но далеко от краёв, он собирает на внешней поверхности пластины вблизи себя нескомпенсированный заряд $-q$, а так как пластина в целом нейтральна, компенсирующий заряд, равный $q$, распределяется по ней независимо от наличия рядом с пластиной точечного заряда. То есть исходная задача эквивалентна задаче, когда одну пластину первоначально нейтрального плоского конденсатора заряжают зарядом $q$. Так как плоский конденсатор симметричен, его ёмкость связывает напряжение на нём с нечётной модой зарядов на пластинах для случая уединённого конденсатора и не зависит от чётной моды. Эта нечётная мода соответствует зарядам на пластинах $\pm q_o = q/2$, и напряжение на конденсаторе равно $U=q_o/C=q/(2C)$. В данном рассмотрении "тонкость" конденсатора никак не используется, только его симметрия и близость внешнего заряда к пластине по сравнению с расстоянием до краёв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение01.02.2021, 18:53 
Заслуженный участник


21/09/15
998

(Оффтоп)

Да, действительно, ошибся в арифметике, проверил - получилось $\frac{q}{2C}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение01.02.2021, 20:16 


21/07/20
157
Мое решение (рассуждения) по существу такие же, что привел realeugene.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение04.02.2021, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Есть такая теорема взаимности Грина. Она гласит, что если проводники при зарядах $Q_1\dots Q_n$ имеют потенциалы $V_1\dots V_n,$ а при зарядах $Q_1'\dots Q_n'$ -- потенциалы $V_1'\dots V_n',$ то
$$\sum Q_iV_i'=\sum Q_i'V_i$$
Воспользуемся этим сакральным знанием. Заменим точечный заряд на очень маленький металлический шарик и рассмотрим два случая: заряд шарика равен $q,$ заряды дисков нули ($Q_1=q,Q_2=Q_3=0$ a $V_1-V_2$ это то, что мы ищем) и заряд шарика равен нулю, а на дисках сидят заряды $Q$ и $-Q$ (заряженный конденсатор). Тогда по теореме взаимности
$$qV_q'=Q(V_1-V_2),$$ где $V_q$ -- потенциал заряженного конденсатора в точке, где стоит шарик (вне конденсатора,) т.е.
$$U=q\frac{V_q'}{Q}.$$ То есть, IMHO, ответ
AnatolyBa в сообщении #1503721 писал(а):
получилось $\frac{q}{2C}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$
неверен. Поле вне конечного конденсатора с круглыми пластинами - считай кто может (С).

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение04.02.2021, 15:46 


27/08/16
8581
amon в сообщении #1504078 писал(а):
То есть, IMHO, ответ AnatolyBa в сообщении #1503721

писал(а):
получилось $\frac{q}{2C}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$ неверен.
Вроде в пределе $a\ll R$ одинаково. Да и функциональная зависимость от $a/R$ для случая тонкого конденсатора совпадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение04.02.2021, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1504082 писал(а):
Вроде в пределе $a\ll R$ одинаково.
$C=\frac{Q}{V},$ где $V$ - разность потенциалов пластин заряженного конденсатора не равно $\frac{Q}{V_q},$ где $V_q$ - потенциал точки вне заряженного конденсатора, в которой сидел точечный заряд. Т.е. ответ существенно меньше заявленного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение04.02.2021, 16:04 


27/08/16
8581
amon, в пределе $a \ll R$, $V_q = V/2$. Это же потенциал пластины уединённого симметричного конденсатора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение04.02.2021, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1504084 писал(а):
$V_q = V/2$. Это же потенциал пластины уединённого симметричного конденсатора.
Похоже, Вы правы. Из симметрии, вроде, так и должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение04.02.2021, 17:39 
Заслуженный участник


21/09/15
998
amon в сообщении #1504078 писал(а):
Поле вне конечного конденсатора с круглыми пластинами - считай кто может (С).

Здесь неточность из-за краевых эффектов, да. Их можно учесть, но лень. Что касается поля вне конечного конденсатора, то если это тонкий конденсатор, толщиной $d$, то поле, опять же в пренебрежении краевыми эффектами, считается как поле однородного двойного слоя - через телесный угол. В ваших обозначениях $V'_q=\frac{Q d}{2 \pi R^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$, что соответствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд вблизи плоского конденсатора
Сообщение04.02.2021, 18:03 


21/07/20
157
AnatolyBa в сообщении #1504095 писал(а):
В ваших обозначениях $V'_q=\frac{Q d}{2 \pi R^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$, что соответствует.

Такую формулу я тоже получил. Но по учету краевых эффектов внятных идей нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group