Заряд вблизи плоского конденсатора

[Ignatovich]

К уединенному плоскому незаряженному конденсатору емкостью C с круглыми обкладками снаружи подносят точечный заряд q, располагая его на расстоянии a от ближайшей обкладки конденсатора на его оси симметрии. Найдите разность потенциалов между обкладками конденсатора. Расстояние а значительно меньше радиуса обкладок R.

[realeugene]

(Оффтоп)

$U=q/C$

[Ignatovich]

(Оффтоп)

Realeugene, у меня иначе.

[realeugene]

(Оффтоп)

Есть ещё рукомахательный вариант $\frac q{2C}$. Пожалуй, он более правильный, чем $q/C$. Из линейности и соображений размерности очевидно, что ответ пропорционален $q/C$.

Предположим, что пластина одна. Если $a \ll R$, вблизи заряда $q$ на внешней поверхности пластины собирается заряд $-q$ выглядящий как зеркальное изображение. Тогда поля внутри пластины больше не будет, но чтобы заряд этой пластины был суммарно нулевым, размажем ещё заряд $q$ равномерно по обеим поверхностям пластины. Теперь добавим очень близко вблизи вторую тонкую параллельную пластину, которая в пренебрежении краевыми эффектами ни на что не влияет, так как она всюду перпендикулярна напряженности поля.

Но, на самом деле, так как нам даны радиус пластины и ёмкость, нам дано и расстояние между пластинами $d$. И безразмерный коэффициент пропорциональности может оказаться сложной функцией $d/R$.

PS На самом деле, из симметрии плоского циллиндрического конденсатора и рассмотрения его чётной и нечётной уединённых ёмкостей следует, что $U=\frac q{2C}$ вне зависимости от расстояния между пластинами.

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

Я решал так. Пусть на пластинах индуцируются заряды с поверхностной плотностью $\sigma_1, \sigma_2$. Напряженность между пластинами (берем только нормальную составляющую) постоянна и складывается из напряженности от заряда $q$ и от $2\pi(\sigma_1-\sigma_2)$. Здесь принципиальна форма конденсатора и то, что он предполагается тонким. Интегрируем по поверхности пластин и учитываем, что $\int\limits_{}^{}\sigma_i dS = 0$. В конце концов у меня получилось $U=2q/C$. Арифметику не гарантирую. Если не требовать $a<<R$, то формула получается несколько сложней, но не слишком

[realeugene]

(Оффтоп)

Когда заряд $q$ вблизи пластины, не обязательно по центру, но далеко от краёв, он собирает на внешней поверхности пластины вблизи себя нескомпенсированный заряд $-q$, а так как пластина в целом нейтральна, компенсирующий заряд, равный $q$, распределяется по ней независимо от наличия рядом с пластиной точечного заряда. То есть исходная задача эквивалентна задаче, когда одну пластину первоначально нейтрального плоского конденсатора заряжают зарядом $q$. Так как плоский конденсатор симметричен, его ёмкость связывает напряжение на нём с нечётной модой зарядов на пластинах для случая уединённого конденсатора и не зависит от чётной моды. Эта нечётная мода соответствует зарядам на пластинах $\pm q_o = q/2$, и напряжение на конденсаторе равно $U=q_o/C=q/(2C)$. В данном рассмотрении "тонкость" конденсатора никак не используется, только его симметрия и близость внешнего заряда к пластине по сравнению с расстоянием до краёв.

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

Да, действительно, ошибся в арифметике, проверил - получилось $\frac{q}{2C}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$

[Ignatovich]

Мое решение (рассуждения) по существу такие же, что привел realeugene.

[amon]

Есть такая теорема взаимности Грина. Она гласит, что если проводники при зарядах $Q_1\dots Q_n$ имеют потенциалы $V_1\dots V_n,$ а при зарядах $Q_1'\dots Q_n'$ -- потенциалы $V_1'\dots V_n',$ то

$$\sum Q_iV_i'=\sum Q_i'V_i$$

Воспользуемся этим сакральным знанием. Заменим точечный заряд на очень маленький металлический шарик и рассмотрим два случая: заряд шарика равен $q,$ заряды дисков нули ($Q_1=q,Q_2=Q_3=0$ a $V_1-V_2$ это то, что мы ищем) и заряд шарика равен нулю, а на дисках сидят заряды $Q$ и $-Q$ (заряженный конденсатор). Тогда по теореме взаимности

$$qV_q'=Q(V_1-V_2),$$

где $V_q$ -- потенциал заряженного конденсатора в точке, где стоит шарик (вне конденсатора,) т.е.

$$U=q\frac{V_q'}{Q}.$$

То есть, IMHO, ответ

AnatolyBa в сообщении #1503721 писал(а):

получилось $\frac{q}{2C}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$

неверен. Поле вне конечного конденсатора с круглыми пластинами - считай кто может (С).

[realeugene]

amon в сообщении #1504078 писал(а):

То есть, IMHO, ответ AnatolyBa в сообщении #1503721

писал(а):
получилось $\frac{q}{2C}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$ неверен.

Вроде в пределе $a\ll R$ одинаково. Да и функциональная зависимость от $a/R$ для случая тонкого конденсатора совпадает.

[amon]

realeugene в сообщении #1504082 писал(а):

Вроде в пределе $a\ll R$ одинаково.

$C=\frac{Q}{V},$ где $V$ - разность потенциалов пластин заряженного конденсатора не равно $\frac{Q}{V_q},$ где $V_q$ - потенциал точки вне заряженного конденсатора, в которой сидел точечный заряд. Т.е. ответ существенно меньше заявленного.

[realeugene]

amon, в пределе $a \ll R$, $V_q = V/2$. Это же потенциал пластины уединённого симметричного конденсатора.

[amon]

realeugene в сообщении #1504084 писал(а):

$V_q = V/2$. Это же потенциал пластины уединённого симметричного конденсатора.

Похоже, Вы правы. Из симметрии, вроде, так и должно быть.

[AnatolyBa]

amon в сообщении #1504078 писал(а):

Поле вне конечного конденсатора с круглыми пластинами - считай кто может (С).

Здесь неточность из-за краевых эффектов, да. Их можно учесть, но лень. Что касается поля вне конечного конденсатора, то если это тонкий конденсатор, толщиной $d$, то поле, опять же в пренебрежении краевыми эффектами, считается как поле однородного двойного слоя - через телесный угол. В ваших обозначениях $V'_q=\frac{Q d}{2 \pi R^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$, что соответствует.

[Ignatovich]

AnatolyBa в сообщении #1504095 писал(а):

В ваших обозначениях $V'_q=\frac{Q d}{2 \pi R^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{R}{a})^2}})$, что соответствует.

Такую формулу я тоже получил. Но по учету краевых эффектов внятных идей нет.