2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 18:38 


05/09/16
9451
Sender в сообщении #1503095 писал(а):
Да, красиво. Осталось подобрать изящное обоснование того, почему фокус именно там, не прибегая к многостраничным выкладкам

Это (вероятно) может сделать arseniiv применив магию аффинных преобразований, я не владею совершенно. То что при стрельбе под 45 градусов (а это -- направление минимальной скорости на концах, если перекладина горизонтальна) фокус лежит на перекладине, наверное показать не сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 18:40 


14/01/11
2677
Кстати, можно ещё заметить, что точка $P$ делит прерывистый синий отрезок, заключённый между вертикалями, строго пополам.

-- Чт янв 28, 2021 18:55:47 --

И минимальной кинетической энергии, которую необходимо сообщить грузу, чтобы перебросить его через перекладину, хватит как раз чтобы добросить его до директрисы, если бросать вертикально вверх. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение29.01.2021, 10:32 


21/07/20
157
wrest в сообщении #1503083 писал(а):
Хорошо известно, что направление скорости движения груза на концах перекладины есть биссектриса угла между вертикалью и направлением от одного конца до другого.

Интересно! Но я этого не знал.
Уважаемый Wrest, выше Вы привели ссылки на обсуждения этой темы на форуме. Может быть, вы знаете "историю" школьных задач про зону обстрела и минимальную скорость? Такие задачи, насколько мне известно, появились относительно недавно. Видел пару задач на олимпиадах, статью Ромашкевича А.И в журнале "Потенциал" (2017), и все, других публикаций не знаю. А тема интересная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение29.01.2021, 11:25 


05/09/16
9451
Ignatovich
Нет, я специально не слежу за этим, насчет биссектрисы придумал я сам :roll: (не я первый конечно, просто раньше я этого не знал т.к. специально не интересовался, а тут начал разбирать "Туда и обратно", строить траектории и заметил это).
Да, меня эта тема тоже не перестаёт удивлять "красотой" ответов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение29.01.2021, 12:58 


14/01/11
2677
Sender в сообщении #1503095 писал(а):
Да, красиво. Осталось подобрать изящное обоснование того, почему фокус именно там, не прибегая к многостраничным выкладкам.:-)

А ведь решение было на поверхности. Ордината директрисы пропорциональна энергии траектории. Мы хотим провести параболу через точки $A$ и $B$ так, чтобы директриса лежала как можно ниже. Пусть $F$ - фокус параболы. Тогда удвоенная высота директрисы $2h = CE+DG=CA+AE+DB+BG=a+c+AF+FB\geqslant a+b+c$, причём равенство достигается в том и только в том случае, когда фокус $F$ лежит на отрезке $AB$. Итак, нам наконец удалось найти то самое изящное решение, немного неожиданно, что оно оказалось геометрическим.:D
После стольких лет, Северус...


Вложения:
parabola.jpg
parabola.jpg [ 33.21 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение29.01.2021, 13:11 


05/09/16
9451
Sender
Изящно!

-- 29.01.2021, 13:15 --

Но вот тут
Sender в сообщении #1503244 писал(а):
Ордината директрисы пропорциональна энергии траектории.
Чего-то не хватает. Интуитивно вроде ясно. Но ведь так же можно сказать и о фокусе -- чем он ниже тем лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение29.01.2021, 13:24 


14/01/11
2677
Нетрудно показать, что высота $h$ директрисы параболической траектории удовлетворяет условию $v_0^2=2gh$, где $v_0$ - начальная скорость тела, если бросать с земли. Фокус таким свойством не обладает.

-- Пт янв 29, 2021 13:35:18 --

Если фокус ниже перекладины, мы можем уменьшить горизонтальную скорость за счёт некоторого увеличения вертикальной, если выше - наоборот, притом в обоих случаях так, чтобы получить энергетический выигрыш.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение29.01.2021, 13:40 


05/09/16
9451
Sender в сообщении #1503248 писал(а):
Нетрудно показать, что высота $h$ директрисы параболической траектории удовлетворяет условию $v_0^2=2gh$, где $v_0$ - начальная скорость тела, если бросать с земли. Фокус таким свойством не обладает.

Ну вот и разгадка. И правда, после стольких лет... :mrgreen:

-- 29.01.2021, 13:48 --

Sender в сообщении #1503248 писал(а):
Если фокус ниже перекладины, мы можем уменьшить горизонтальную скорость за счёт некоторого увеличения вертикальной, если выше - наоборот, притом в обоих случаях так, чтобы получить энергетический выигрыш.

Да, я понял. Из всех траекторий если кидать на фиксированное расстояние вертикально, самая низкая директриса будет если кидать под 45 градусов. При этом среди всех траекторий фокус будет как выше так и ниже земли.
При фиксированной стартовой точке и скорости, значит, все траектории-параболы имеют общую директрису.

Поскольку огибающая всех траекторий при фиксированной стартовой точке и скорости есть парабола (парабола безопасности), то теперь надо открыть миру также и значение и практическое применение её директрисы (а может, и на фокус замахнуться).

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение29.01.2021, 17:52 


05/09/16
9451
Пока подкину сюда насчет фокусов.

Итак, семейство траекторий выпущенных из одной и той же точки снарядов с постоянной начальной скоростью $v_0$ -- это семейство парабол с общей директрисой. Принимая точку старта за начало координат, получаем что эта директриса находится на высоте
Sender в сообщении #1503248 писал(а):
высота $h$ директрисы параболической траектории удовлетворяет условию $v_0^2=2gh$,

А вот геометрическим местом фокусов этого семейства парабол является окружность с центром в начале координат и радусом равным высоте директрисы, т.е. $h$ из вышеприведенной цитаты.

А я думал что из фокусов опять получится парабола, но нет -- окружность.

-- 29.01.2021, 17:54 --

wrest в сообщении #1503251 писал(а):
(а может, и на фокус замахнуться).

Фокус параболы безопасности банально совпадает с точкой старта.

-- 29.01.2021, 17:56 --

wrest в сообщении #1503251 писал(а):
то теперь надо открыть миру также и значение и практическое применение её директрисы

Директриса параболы безопасности лежит на выоте $2h$

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение02.02.2021, 16:13 


05/09/16
9451
В свете продолжившихся в теме «Максимальная дальность полета» изысканий, если дана форма преграды (линия земли и две точки перекладины) теперь я ещё умею строить циркулем и линейкой
-- точку старта (и финиша)
-- направление броска (и падения).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group