2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Минимальная скорость
Сообщение27.01.2021, 20:01 
Аватара пользователя


12/02/20
260
Найти минимальную скорость которую необходимо сообщить телу чтобы преодолеть препятствие на рисунке.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение27.01.2021, 20:14 


27/08/16
8581
Вариант 1. Скорость нулевая. Отпускаем с достаточно высокой точки, тело падает на наклонную крышу, скатывается.
Вариант 2. Дополнительное условие - кидаем с поверхности Земли. $v=\sqrt{2 g a}$: кидаем практически вертикально слева на край крыши, тело скатывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение27.01.2021, 20:19 
Аватара пользователя


12/02/20
260
realeugene, прошу прощения, следовало уточнить: тело не должно касаться препятствия (только если совсем чуть-чуть) и тем более скатываться. Тело брошено с Земли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение27.01.2021, 20:58 


27/08/16
8581

(Оффтоп)

$\sqrt{g (a + b + c)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение27.01.2021, 21:54 
Аватара пользователя


12/02/20
260

(Оффтоп)

realeugene, интересно можно ли найти красивое геометрическое объяснение почему по сути важен только периметр

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение27.01.2021, 22:05 


27/08/16
8581

(Оффтоп)

profilescit в сообщении #1503008 писал(а):
realeugene, интересно можно ли найти красивое геометрическое объяснение почему по сути важен только периметр
Я такое объяснение не знаю. Да и параболы совершенно разные а предельных случаях $a=c=0$ и $b=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 11:22 


14/01/11
2677
А нет ли тут до кучи оптического свойства параболы? :-) В том смысле, что не лежит ли фокус параболы на перекладине? Надо будет прикинуть на досуге.

-- Чт янв 28, 2021 11:26:15 --

А если ещё и линия земли совпадёт с директрисой, это будет просто фулл хаус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 11:40 
Заслуженный участник


28/12/12
6990
Sender в сообщении #1503034 писал(а):
А если ещё и линия земли совпадёт с директрисой

Это, вроде, по определению директрисы исключено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 11:47 


14/01/11
2677
А, да, она с другой стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 11:48 


05/09/16
9460
Да, задачи на свободное падение с минимазацией начальной скорости (=кин. энергии), и параболу безопасности, прикольные своими "парадоксальными" ответами.
Последняя (такая же как эта, но $a=c$): «Лягушка и коробка», хотя там же есть решение ув. dovlato и для $a \ne c$: post1485562.html#p1485562 в таком виде: Пусть дано $h=\dfrac{a+c}{2}$ (=высота середины отрезка $b$) тогда $v=\sqrt{g(b+2h)}$

Перед ней (по-моему самая "смачная"): «Туда и обратно»

В неоднородном поле: «Дальняя стрельба»

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 16:12 


14/01/11
2677
Sender в сообщении #1503034 писал(а):
А нет ли тут до кучи оптического свойства параболы? :-) В том смысле, что не лежит ли фокус параболы на перекладине? Надо будет прикинуть на досуге.

Да! Фокус параболы и впрямь лежит на верхней перекладине. Но алгебраические преобразования поистине зубодробительные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 17:02 


05/09/16
9460
Sender
Причем, вертикальная парабола проходящая через концы перекладины и имеющая на ней фокус -- единственна, так ведь?

Тогда вопрос такой. Можно ли построить фокус параболы циркулем и линейкой (считаем что нам даны точки начала и конца перекладины, а также прямая параллельная земле, землю считаем плоской).

upd. Отвечаю сам себе. Да, можно. Можно построить директриссу и фокус. Причем всё не просто, а очень просто :)

upd2. Объясняю как строить.
Хорошо известно, что направление скорости движения груза на концах перекладины есть биссектриса угла между вертикалью и направлением от одного конца до другого. Строим эти направления. Из точки их пересечения $P$ опускаем перпендикуляр на перекладину. Это и есть фокус параболы. Директрисса параболы проходит через $P$ горизонтально. Всё. :mrgreen:

Я считаю, это надо обмыть. Все-таки очень, очень! плодотворная тема эта минимальных скоростей. Сколько нам открытий чудных...

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 17:22 


14/01/11
2677
wrest в сообщении #1503083 писал(а):
Причем, вертикальная парабола проходящая через концы перекладины и имеющая на ней фокус -- единственна, так ведь?

Не уверен. Вообще говоря, получается две параболы, и про вторую я как-то забыл. Она существует, только если выполнено $2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2\geqslant 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 17:35 


05/09/16
9460
Sender в сообщении #1503084 писал(а):
Не уверен. Вообще говоря, получается две параболы, и про вторую я как-то забыл. Она существует, только если выполнено $2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2\geqslant 0$.

Парабола зависит только от модуля $|a-c|$ с точностью до свободного члена, так что можно смело положить $c=0$

$b$ у нас гипотенуза, а как известно она длиннее катета, который у нас $|a-c|$
То есть в случае $c=0$ имеем $b>a$
Тогда переписываем $2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2=2ab-a^2-b^2=-(a-b)^2$ что строго меньше нуля.

-- 28.01.2021, 18:07 --

upd2. Объясняю как строить.
Хорошо известно, что направление скорости движения груза на концах перекладины есть биссектриса угла между вертикалью и направлением от одного конца до другого. Строим эти направления. Из точки их пересечения $P$ опускаем перпендикуляр на перекладину. Это и есть фокус параболы. Директрисса параболы проходит через $P$ горизонтально. Всё. :mrgreen:
Изображение
Синие точки на конце оранжевого отрезка (перекладины) -- концы перекладины (они даны). Черные линии (прерывистые) - вертикали (направлены по силе тяжести). Зеленые лучи -- биссектрисы углов, образованных перекладиной (оранжевая линия) и вертикалями. Точка $P$ -- пересечение зеленых лучей. Синяя (прерывистая) прямая -- директрисса параболы, горизонталь (перепендикуляр опущенный из точки $P$ на вертикаль). Фиолетовая (сплошная) прямая -- перпендикуляр из точки $P$, опущенный на оранжевую линию (перекладину). Точка $C$ - фокус параболы.
Красная (прерывистая) линия -- собсно сама парабола, дана в иллюстративных целях (не строится циркулем-линейкой).

Да, кстати. Треугольник из зеленых биссектрис и оранжевой перекладины - прямоугольный, с прямым углом в вершине $P$.

Я считаю, это надо обмыть!! Все-таки очень, очень! плодотворная тема эта минимальных скоростей. Сколько нам открытий чудных...

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимальная скорость
Сообщение28.01.2021, 18:19 


14/01/11
2677
Да, красиво. Осталось подобрать изящное обоснование того, почему фокус именно там, не прибегая к многостраничным выкладкам.:-)

-- Чт янв 28, 2021 18:21:51 --

(Оффтоп)

И "директриса" пишется с одной "с".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group