Минимальная скорость

[profilescit]

Найти минимальную скорость которую необходимо сообщить телу чтобы преодолеть препятствие на рисунке.

[realeugene]

Вариант 1. Скорость нулевая. Отпускаем с достаточно высокой точки, тело падает на наклонную крышу, скатывается.
Вариант 2. Дополнительное условие - кидаем с поверхности Земли. $v=\sqrt{2 g a}$: кидаем практически вертикально слева на край крыши, тело скатывается.

[profilescit]

realeugene, прошу прощения, следовало уточнить: тело не должно касаться препятствия (только если совсем чуть-чуть) и тем более скатываться. Тело брошено с Земли.

[realeugene]

(Оффтоп)

$\sqrt{g (a + b + c)}$

[profilescit]

(Оффтоп)

realeugene, интересно можно ли найти красивое геометрическое объяснение почему по сути важен только периметр

[realeugene]

(Оффтоп)

profilescit в сообщении #1503008 писал(а):

realeugene, интересно можно ли найти красивое геометрическое объяснение почему по сути важен только периметр

Я такое объяснение не знаю. Да и параболы совершенно разные а предельных случаях $a=c=0$ и $b=0$.

[Sender]

А нет ли тут до кучи оптического свойства параболы? В том смысле, что не лежит ли фокус параболы на перекладине? Надо будет прикинуть на досуге.

-- Чт янв 28, 2021 11:26:15 --

А если ещё и линия земли совпадёт с директрисой, это будет просто фулл хаус.

[DimaM]

Sender в сообщении #1503034 писал(а):

А если ещё и линия земли совпадёт с директрисой

Это, вроде, по определению директрисы исключено.

[Sender]

А, да, она с другой стороны.

[wrest]

Да, задачи на свободное падение с минимазацией начальной скорости (=кин. энергии), и параболу безопасности, прикольные своими "парадоксальными" ответами.
Последняя (такая же как эта, но $a=c$): «Лягушка и коробка», хотя там же есть решение ув. dovlato и для $a \ne c$: post1485562.html#p1485562 в таком виде: Пусть дано $h=\dfrac{a+c}{2}$ (=высота середины отрезка $b$) тогда $v=\sqrt{g(b+2h)}$

Перед ней (по-моему самая "смачная"): «Туда и обратно»

В неоднородном поле: «Дальняя стрельба»

[Sender]

Sender в сообщении #1503034 писал(а):

А нет ли тут до кучи оптического свойства параболы? В том смысле, что не лежит ли фокус параболы на перекладине? Надо будет прикинуть на досуге.

Да! Фокус параболы и впрямь лежит на верхней перекладине. Но алгебраические преобразования поистине зубодробительные.

[wrest]

Sender
Причем, вертикальная парабола проходящая через концы перекладины и имеющая на ней фокус -- единственна, так ведь?

Тогда вопрос такой. Можно ли построить фокус параболы циркулем и линейкой (считаем что нам даны точки начала и конца перекладины, а также прямая параллельная земле, землю считаем плоской).

upd. Отвечаю сам себе. Да, можно. Можно построить директриссу и фокус. Причем всё не просто, а очень просто :)

upd2. Объясняю как строить.
Хорошо известно, что направление скорости движения груза на концах перекладины есть биссектриса угла между вертикалью и направлением от одного конца до другого. Строим эти направления. Из точки их пересечения $P$ опускаем перпендикуляр на перекладину. Это и есть фокус параболы. Директрисса параболы проходит через $P$ горизонтально. Всё.

Я считаю, это надо обмыть. Все-таки очень, очень! плодотворная тема эта минимальных скоростей. Сколько нам открытий чудных...

[Sender]

wrest в сообщении #1503083 писал(а):

Причем, вертикальная парабола проходящая через концы перекладины и имеющая на ней фокус -- единственна, так ведь?

Не уверен. Вообще говоря, получается две параболы, и про вторую я как-то забыл. Она существует, только если выполнено $2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2\geqslant 0$.

[wrest]

Sender в сообщении #1503084 писал(а):

Не уверен. Вообще говоря, получается две параболы, и про вторую я как-то забыл. Она существует, только если выполнено $2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2\geqslant 0$.

Парабола зависит только от модуля $|a-c|$ с точностью до свободного члена, так что можно смело положить $c=0$

$b$ у нас гипотенуза, а как известно она длиннее катета, который у нас $|a-c|$
То есть в случае $c=0$ имеем $b>a$
Тогда переписываем $2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2=2ab-a^2-b^2=-(a-b)^2$ что строго меньше нуля.

-- 28.01.2021, 18:07 --

upd2. Объясняю как строить.
Хорошо известно, что направление скорости движения груза на концах перекладины есть биссектриса угла между вертикалью и направлением от одного конца до другого. Строим эти направления. Из точки их пересечения $P$ опускаем перпендикуляр на перекладину. Это и есть фокус параболы. Директрисса параболы проходит через $P$ горизонтально. Всё.

Синие точки на конце оранжевого отрезка (перекладины) -- концы перекладины (они даны). Черные линии (прерывистые) - вертикали (направлены по силе тяжести). Зеленые лучи -- биссектрисы углов, образованных перекладиной (оранжевая линия) и вертикалями. Точка $P$ -- пересечение зеленых лучей. Синяя (прерывистая) прямая -- директрисса параболы, горизонталь (перепендикуляр опущенный из точки $P$ на вертикаль). Фиолетовая (сплошная) прямая -- перпендикуляр из точки $P$, опущенный на оранжевую линию (перекладину). Точка $C$ - фокус параболы.
Красная (прерывистая) линия -- собсно сама парабола, дана в иллюстративных целях (не строится циркулем-линейкой).

Да, кстати. Треугольник из зеленых биссектрис и оранжевой перекладины - прямоугольный, с прямым углом в вершине $P$.

Я считаю, это надо обмыть!! Все-таки очень, очень! плодотворная тема эта минимальных скоростей. Сколько нам открытий чудных...

[Sender]

Да, красиво. Осталось подобрать изящное обоснование того, почему фокус именно там, не прибегая к многостраничным выкладкам.

-- Чт янв 28, 2021 18:21:51 --

(Оффтоп)

И "директриса" пишется с одной "с".