Уравнение в целых числах (3(p^q+q^p)=n!)

[rashid]

Пожалуйста помогите решит уравнение в целых числах $3(p^q+q^p)=n!$

[Руст]

Одно из очевидных решений (p>=q) q=1,p=n!-1(n>1). По видимому, других решений нет.

[rashid]

извините пожалуйста чуть неувязочка вышлаp и q простые числа и тройка перед скобкой оставили 3*(p^q+q^p)

[Руст]

Это существенно упрощает дело. Так как при (n+1)^(n+1)>6n! начиная с n=3, получаем, что при n>=3 один из простых чисел (обозначим через q) не превосходит n, а следовательно n! и 3p^q делится на q. Это приводит к тому, что или p=q, n!=6p^p или q=3 n<6(иначе не будет делимости на 9 одного члена при делении двух других). В первом случае нет решения (если не считать p=1) а во втором так же отсутствует решение.

[rashid]

а при p=2 и q=2 а n=4 решению методом подбора нашел а других решений нодо найти!..

[Руст]

В любом случае из изложенного следует, что p и q не превосходят 3 а n число от 3 до 5. Других не может быть. При расчёте в уме упустил случай p=q=2,n=4. Остается проверить, что n=5 не является p^3+3^p для p=2 или 3.

[rashid]

спасибо большое!!!