Минимальная скорость

[wrest]

Sender в сообщении #1503095 писал(а):

Да, красиво. Осталось подобрать изящное обоснование того, почему фокус именно там, не прибегая к многостраничным выкладкам

Это (вероятно) может сделать arseniiv применив магию аффинных преобразований, я не владею совершенно. То что при стрельбе под 45 градусов (а это -- направление минимальной скорости на концах, если перекладина горизонтальна) фокус лежит на перекладине, наверное показать не сложно.

[Sender]

Кстати, можно ещё заметить, что точка $P$ делит прерывистый синий отрезок, заключённый между вертикалями, строго пополам.

-- Чт янв 28, 2021 18:55:47 --

И минимальной кинетической энергии, которую необходимо сообщить грузу, чтобы перебросить его через перекладину, хватит как раз чтобы добросить его до директрисы, если бросать вертикально вверх.

[Ignatovich]

wrest в сообщении #1503083 писал(а):

Хорошо известно, что направление скорости движения груза на концах перекладины есть биссектриса угла между вертикалью и направлением от одного конца до другого.

Интересно! Но я этого не знал.
Уважаемый Wrest, выше Вы привели ссылки на обсуждения этой темы на форуме. Может быть, вы знаете "историю" школьных задач про зону обстрела и минимальную скорость? Такие задачи, насколько мне известно, появились относительно недавно. Видел пару задач на олимпиадах, статью Ромашкевича А.И в журнале "Потенциал" (2017), и все, других публикаций не знаю. А тема интересная.

[wrest]

Ignatovich
Нет, я специально не слежу за этим, насчет биссектрисы придумал я сам (не я первый конечно, просто раньше я этого не знал т.к. специально не интересовался, а тут начал разбирать "Туда и обратно", строить траектории и заметил это).
Да, меня эта тема тоже не перестаёт удивлять "красотой" ответов.

[Sender]

Sender в сообщении #1503095 писал(а):

Да, красиво. Осталось подобрать изящное обоснование того, почему фокус именно там, не прибегая к многостраничным выкладкам.

А ведь решение было на поверхности. Ордината директрисы пропорциональна энергии траектории. Мы хотим провести параболу через точки $A$ и $B$ так, чтобы директриса лежала как можно ниже. Пусть $F$ - фокус параболы. Тогда удвоенная высота директрисы $2h = CE+DG=CA+AE+DB+BG=a+c+AF+FB\geqslant a+b+c$, причём равенство достигается в том и только в том случае, когда фокус $F$ лежит на отрезке $AB$. Итак, нам наконец удалось найти то самое изящное решение, немного неожиданно, что оно оказалось геометрическим.
После стольких лет, Северус...

[wrest]

Sender
Изящно!

-- 29.01.2021, 13:15 --

Но вот тут

Sender в сообщении #1503244 писал(а):

Ордината директрисы пропорциональна энергии траектории.

Чего-то не хватает. Интуитивно вроде ясно. Но ведь так же можно сказать и о фокусе -- чем он ниже тем лучше.

[Sender]

Нетрудно показать, что высота $h$ директрисы параболической траектории удовлетворяет условию $v_0^2=2gh$, где $v_0$ - начальная скорость тела, если бросать с земли. Фокус таким свойством не обладает.

-- Пт янв 29, 2021 13:35:18 --

Если фокус ниже перекладины, мы можем уменьшить горизонтальную скорость за счёт некоторого увеличения вертикальной, если выше - наоборот, притом в обоих случаях так, чтобы получить энергетический выигрыш.

[wrest]

Sender в сообщении #1503248 писал(а):

Нетрудно показать, что высота $h$ директрисы параболической траектории удовлетворяет условию $v_0^2=2gh$, где $v_0$ - начальная скорость тела, если бросать с земли. Фокус таким свойством не обладает.

Ну вот и разгадка. И правда, после стольких лет...

-- 29.01.2021, 13:48 --

Sender в сообщении #1503248 писал(а):

Если фокус ниже перекладины, мы можем уменьшить горизонтальную скорость за счёт некоторого увеличения вертикальной, если выше - наоборот, притом в обоих случаях так, чтобы получить энергетический выигрыш.

Да, я понял. Из всех траекторий если кидать на фиксированное расстояние вертикально, самая низкая директриса будет если кидать под 45 градусов. При этом среди всех траекторий фокус будет как выше так и ниже земли.
При фиксированной стартовой точке и скорости, значит, все траектории-параболы имеют общую директрису.

Поскольку огибающая всех траекторий при фиксированной стартовой точке и скорости есть парабола (парабола безопасности), то теперь надо открыть миру также и значение и практическое применение её директрисы (а может, и на фокус замахнуться).

[wrest]

Пока подкину сюда насчет фокусов.

Итак, семейство траекторий выпущенных из одной и той же точки снарядов с постоянной начальной скоростью $v_0$ -- это семейство парабол с общей директрисой. Принимая точку старта за начало координат, получаем что эта директриса находится на высоте

Sender в сообщении #1503248 писал(а):

высота $h$ директрисы параболической траектории удовлетворяет условию $v_0^2=2gh$,

А вот геометрическим местом фокусов этого семейства парабол является окружность с центром в начале координат и радусом равным высоте директрисы, т.е. $h$ из вышеприведенной цитаты.

А я думал что из фокусов опять получится парабола, но нет -- окружность.

-- 29.01.2021, 17:54 --

wrest в сообщении #1503251 писал(а):

(а может, и на фокус замахнуться).

Фокус параболы безопасности банально совпадает с точкой старта.

-- 29.01.2021, 17:56 --

wrest в сообщении #1503251 писал(а):

то теперь надо открыть миру также и значение и практическое применение её директрисы

Директриса параболы безопасности лежит на выоте $2h$

[wrest]

В свете продолжившихся в теме «Максимальная дальность полета» изысканий, если дана форма преграды (линия земли и две точки перекладины) теперь я ещё умею строить циркулем и линейкой
-- точку старта (и финиша)
-- направление броска (и падения).

[wrest]

profilescit в сообщении #1503008 писал(а):

интересно можно ли найти красивое геометрическое объяснение почему по сути важен только периметр

Тут такое дело, что расстояние от земли до директрисы равно полусумме высот "стен" и длины "крыши"
Насчёт "объяснения" не знаю, но вот построение искомой параболы.
К объяснением надо отнести необходимость нахождения фокуса параболы на линии "крыши". Предлагаю провести это рассуждение самостоятельно :)

Итак, опять строим-построим.

Даны точки A и B их проекции на землю, точки J и K.
Задача - построить параболу "минимальной скорости" циркулем и линейкой. Ну как построить... Фокус, директрису, вершину, касательные не старте-финише и углах.

1. Проводим вертикали из точек A и B -- короткий пунктир.
2. Из A и B проводим биссектрисы углов между AB и вертикалями. Они же - касательные к параболе в точках A и B. На картинке эти биссектрисы обозначены AH и BH.
3. AH и BH пересекаются под прямы углом (тут всё просто). Значит точка H лежит на дирекрисе. Строим директрису (параллельно земле, через точку H - красная прямая).
4. Из H опускаем перпендикуляр на AB, точка пересечения F - фокус параболы.
5. Через фокус F проводим вертикаль, это ось параболы и она пересекается с директрисой в точке R и с землёй в точке P.
6. Из точки F как пз центра, строим окружность радиусом равным RP. Эта окружность пересекается с землёй в точках L и M. Это точки старта-финиша перекидываемого груза.
7. Эта окружность пересекается с осью параболы в точке N (выше директрисы).
8. Точка N является точкой пересечения касательных к параболе в точка L и M, т.е. LN и MN -- касательные к параболе.

По поводу периметра... Ну тут важны высоты точек A и B, т.е. парабола была бы такой же если бы точки K и J подвигать по земле (ессно, "не заходя за" точки старта-финиша L и M).
Так вот, $RP=\dfrac{JA+AB+BK}{2}$ - высота директрисы над землёй.
Это высота масимального полёта (вершина "параболы безопасности") если бросать груз вертикально, отсюда находим энергию. Тут понадобится $g$ ну и так найдём скорость: на старте потенциальная энергия ноль, значит вся энергия кинетическая.

P.S. Про вершину забыл. Она в середине отрезка RF.