2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение25.01.2021, 16:14 
Аватара пользователя


20/01/21
40
Здравствуйте, уважаемые участники форума. Хочу предложить вашему вниманию доказательство гипотезы Коллатца.

Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел. Берём любое натуральное число $n$. Если число $2$ входит в его разложение на простые множители в степени $m\geqslant1$, то делим на $2^m$, а если не входит, то умножаем на $3$ и прибавляем $1$ (получаем $3n+1$). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее. Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число $n$ мы ни взяли, рано или поздно мы получим бесконечный цикл $4 - 2 - 1$.

Доказательство: для доказательства разобьём множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ на $10$ подмножеств, все элементы каждого из которых имеют одинаковый остаток от деления на $10$. Очевидно, что они естественным образом разделятся по признаку чётности на $2$ семейства из $5$ подмножеств каждое и никакие $2$ соседних члена рассмотренной выше последовательности не могут принадлежать к одному семейству.

Допустим, что существует число-контрпример к гипотезе, оно либо чётно либо нет. Поместим его в произвольную вершину графа Шрикханде: очевидно, что $6$ ребёр будут соединять его либо с циклом $4 - 2 - 1$, т.е. что контрпримера не существует, либо - через заданные выше операции - с каждым из $5$ подмножеств одного из семейств. «Переместим» контрпример по одному из рёбер и увидим, что снова есть ровно $5$ ребёр, итерирующих контрпример ровно в $1$ из $5$ подмножеств другого семейства, и так далее. Так как количество итерации бесконечно, а множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ не более чем счётно - контрпримера не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение25.01.2021, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
NeVZleTeam в сообщении #1502676 писал(а):
Поместим его в произвольную вершину графа Шрикханде
NeVZleTeam в сообщении #1502676 писал(а):
очевидно, что $6$ ребёр будут соединять его
Что это вообще значит? Где в графе Шрикханде цикл $4 - 2 - 1$? Что значит "поместить число в граф"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение25.01.2021, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Это то есть люди бились-бились, а тут всё так просто и очевидно, как в учебнике для начальных классов? А для $ABC$-гипотезы у вас случайно нет такого же короткого доказательства, которое можно было бы поместить на слишком узкие поля форума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение25.01.2021, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1502690 писал(а):
Это то есть люди бились-бились, а тут всё так просто и очевидно, как в учебнике для начальных классов?
Примеры простых решений старых (хотя пожалуй менее известных) проблем в истории были.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение25.01.2021, 18:01 
Заслуженный участник


20/08/14
11782
Россия, Москва
Лично я не вижу в рассуждении ни доказательства отсутствия других циклов, ни доказательства отсутствия бесконечной не цикличной последовательности. Особенно "порадовало" что раз $\mathbb{N}$ всего лишь счётно, то не может быть бесконечным. :facepalm:

-- 25.01.2021, 18:09 --

Видимо у ТС была надежда что количество вариантов переходов между вершинами двух графов (двух подмножеств) конечно, а количество доступных итераций бесконечно и потому неизбежно наткнёмся на цикл 4-2-1. Но это не так: хоть количество разных переходов и мало, но они выстраиваются в цепочку любой длины, а вот количество вариантов уже её построения как раз бесконечно и нет причины неизбежно влипать в один конкретный подкласс вершин (степени двойки с соответствующим циклом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение25.01.2021, 21:54 
Аватара пользователя


20/01/21
40
Dmitriy40 в сообщении #1502701 писал(а):
я не вижу в рассуждении ни доказательства отсутствия других циклов

Это тривиально следует из теоремы Шарковского, разве нет? Единственный возможный цикл должен иметь период $2$ и он его имеет $4\to1\to4$.
Dmitriy40 в сообщении #1502701 писал(а):
ни доказательства отсутствия бесконечной не цикличной последовательности.

Граф Шрикханде приводящий, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение26.01.2021, 03:34 
Заслуженный участник


20/08/14
11782
Россия, Москва
NeVZleTeam
Понятней не стало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение26.01.2021, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
Dmitriy40, а вы понимаете, как тут вообще появился граф и как он связан с последовательностью? Потому что я не понимаю.
NeVZleTeam, где в вашем рассуждении используются конкретные коэффициенты (что четные числа делим на $2$, а нечетные умножаем на $3$ и прибавляем $1$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение26.01.2021, 21:13 
Заслуженный участник


20/08/14
11782
Россия, Москва
mihaild в сообщении #1502779 писал(а):
Dmitriy40, а вы понимаете, как тут вообще появился граф и как он связан с последовательностью? Потому что я не понимаю.
Нет, не понимаю, о чём кстати выше и сказал. Лишь догадываюсь что это попытка разделить $\mathbb{N}$ на некие подмножества (например остатков по модулю 10), свернуть каждое из них в один узел и описать графом переходы между ними при операциях с числом. Но при чём тут этот конкретный граф с 16 вершинами вместо 10 и 48 рёбрами вообще непонятно. Как и упомянутая теорема (она по моему вообще о другом). Возможно мне для понимания не хватает знаний ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение27.01.2021, 10:22 
Аватара пользователя


20/01/21
40
Dmitriy40 в сообщении #1502862 писал(а):
Но при чём тут этот конкретный граф с 16 вершинами вместо 10 и 48 рёбрами вообще непонятно.

Дам пояснение, возможно станет понятнее.

Изначально идея числа оптимизирующей рекурсии $48$ не получила видимого интереса сообщества и я решил её некоторым образом проиллюстрировать. В математике не так много объектов со свойством «иметь что-нибудь в количестве $48$» и после некоторых размышлений я выбрал из них граф Шрикханде с $48$ рёбрами, затем, пробежавшись по списку открытых математических проблем, прикинул какие из них можно решить оптимизирующей рекурсией и остановился на гипотезе Коллатца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение27.01.2021, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
NeVZleTeam в сообщении #1502925 писал(а):
В математике не так много объектов со свойством «иметь что-нибудь в количестве $48$» и после некоторых размышлений я выбрал из них граф Шрикханде с $48$ рёбрами, затем, пробежавшись по списку открытых математических проблем, прикинул какие из них можно решить оптимизирующей рекурсией и остановился на гипотезе Коллатца.
Нужно же было взять 42, а не 48. Ведь 42 решает любую открытую проблему (не только математическую), разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение27.01.2021, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
grizzly в сообщении #1502926 писал(а):
любую открытую проблему (не только математическую)
Приверженцы Математикализма утверждают, что не только математических (точнее, только не математических) проблем не существует, а бывают только лишь не только лишь математические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение27.01.2021, 10:45 
Аватара пользователя


20/01/21
40

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1502926 писал(а):
Нужно же было взять 42, а не 48. Ведь 42 решает любую открытую проблему (не только математическую), разве нет?
Это число стоит отдельной темы в Свободном полёте, пожалуй создам её.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение27.01.2021, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
NeVZleTeam в сообщении #1502925 писал(а):
возможно станет понятнее
Нет, не станет.

Вы пытаетесь предложить для проверки какое-то связное доказательство, или просто фантазируете на нумерологическую тему? Если первое - то пока что никакого рассуждения не прослеживается, если второе - то почему в математическом разделе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство гипотезы Коллатца
Сообщение27.01.2021, 11:34 
Аватара пользователя


20/01/21
40
mihaild в сообщении #1502685 писал(а):
Что это вообще значит?

Пожалуйста, уточните вопрос. Он слишком общий.
mihaild в сообщении #1502685 писал(а):
Где в графе Шрикханде цикл $4 - 2 - 1$?

На мой взгляд цикл $4 - 2 - 1$, а точнее, исходя из формулировки в первом посте темы, цикл $\to 1 \to 4 \to 1$ соответствует в графе Шрикханде бесконечному перемещению между $2$ соседними вершинами единственным образом по соединяющему их ребру.
mihaild в сообщении #1502685 писал(а):
Что значит "поместить число в граф"?

Задать соответствие между числом-контрпримером и произвольной вершиной графа.
StaticZero в сообщении #1502690 писал(а):
Это то есть люди бились-бились, а тут всё так просто и очевидно, как в учебнике для начальных классов?
Да.

(Оффтоп)

По моему глубокому убеждению, все задачи делятся ровно на $2$ типа: простые и сложные. У простых задач есть простые решения (пусть и требующие для их нахождения некоторого объёма специальных знаний), а сложных задач в математике нет.

StaticZero в сообщении #1502690 писал(а):
А для $ABC$-гипотезы у вас случайно нет такого же короткого доказательства, которое можно было бы поместить на слишком узкие поля форума?

Нет.
mihaild в сообщении #1502779 писал(а):
NeVZleTeam, где в вашем рассуждении используются конкретные коэффициенты (что четные числа делим на $2$, а нечетные умножаем на $3$ и прибавляем $1$)?

Поправлю: делим не на $2$, а на $2^m$. Конкретные коэффициенты (хотя лично я не считаю коэффициент $2^m$ конкретным) в моём рассуждении не используются нигде, они отождествлены с переходом между семействами множеств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group