Доказательство гипотезы Коллатца

[NeVZleTeam]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Хочу предложить вашему вниманию доказательство гипотезы Коллатца.

Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел. Берём любое натуральное число $n$. Если число $2$ входит в его разложение на простые множители в степени $m\geqslant1$, то делим на $2^m$, а если не входит, то умножаем на $3$ и прибавляем $1$ (получаем $3n+1$). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее. Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число $n$ мы ни взяли, рано или поздно мы получим бесконечный цикл $4 - 2 - 1$.

Доказательство: для доказательства разобьём множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ на $10$ подмножеств, все элементы каждого из которых имеют одинаковый остаток от деления на $10$. Очевидно, что они естественным образом разделятся по признаку чётности на $2$ семейства из $5$ подмножеств каждое и никакие $2$ соседних члена рассмотренной выше последовательности не могут принадлежать к одному семейству.

Допустим, что существует число-контрпример к гипотезе, оно либо чётно либо нет. Поместим его в произвольную вершину графа Шрикханде: очевидно, что $6$ ребёр будут соединять его либо с циклом $4 - 2 - 1$, т.е. что контрпримера не существует, либо - через заданные выше операции - с каждым из $5$ подмножеств одного из семейств. «Переместим» контрпример по одному из рёбер и увидим, что снова есть ровно $5$ ребёр, итерирующих контрпример ровно в $1$ из $5$ подмножеств другого семейства, и так далее. Так как количество итерации бесконечно, а множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ не более чем счётно - контрпримера не существует.

[mihaild]

NeVZleTeam в сообщении #1502676 писал(а):

Поместим его в произвольную вершину графа Шрикханде

NeVZleTeam в сообщении #1502676 писал(а):

очевидно, что $6$ ребёр будут соединять его

Что это вообще значит? Где в графе Шрикханде цикл $4 - 2 - 1$? Что значит "поместить число в граф"?

[StaticZero]

Это то есть люди бились-бились, а тут всё так просто и очевидно, как в учебнике для начальных классов? А для $ABC$-гипотезы у вас случайно нет такого же короткого доказательства, которое можно было бы поместить на слишком узкие поля форума?

[mihaild]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1502690 писал(а):

Это то есть люди бились-бились, а тут всё так просто и очевидно, как в учебнике для начальных классов?

Примеры простых решений старых (хотя пожалуй менее известных) проблем в истории были.

[Dmitriy40]

Лично я не вижу в рассуждении ни доказательства отсутствия других циклов, ни доказательства отсутствия бесконечной не цикличной последовательности. Особенно "порадовало" что раз $\mathbb{N}$ всего лишь счётно, то не может быть бесконечным.

-- 25.01.2021, 18:09 --

Видимо у ТС была надежда что количество вариантов переходов между вершинами двух графов (двух подмножеств) конечно, а количество доступных итераций бесконечно и потому неизбежно наткнёмся на цикл 4-2-1. Но это не так: хоть количество разных переходов и мало, но они выстраиваются в цепочку любой длины, а вот количество вариантов уже её построения как раз бесконечно и нет причины неизбежно влипать в один конкретный подкласс вершин (степени двойки с соответствующим циклом).

[NeVZleTeam]

Dmitriy40 в сообщении #1502701 писал(а):

я не вижу в рассуждении ни доказательства отсутствия других циклов

Это тривиально следует из теоремы Шарковского, разве нет? Единственный возможный цикл должен иметь период $2$ и он его имеет $4\to1\to4$.

Dmitriy40 в сообщении #1502701 писал(а):

ни доказательства отсутствия бесконечной не цикличной последовательности.

Граф Шрикханде приводящий, разве нет?

[Dmitriy40]

NeVZleTeam
Понятней не стало.

[mihaild]

Dmitriy40, а вы понимаете, как тут вообще появился граф и как он связан с последовательностью? Потому что я не понимаю.
NeVZleTeam, где в вашем рассуждении используются конкретные коэффициенты (что четные числа делим на $2$, а нечетные умножаем на $3$ и прибавляем $1$)?

[Dmitriy40]

mihaild в сообщении #1502779 писал(а):

Dmitriy40, а вы понимаете, как тут вообще появился граф и как он связан с последовательностью? Потому что я не понимаю.

Нет, не понимаю, о чём кстати выше и сказал. Лишь догадываюсь что это попытка разделить $\mathbb{N}$ на некие подмножества (например остатков по модулю 10), свернуть каждое из них в один узел и описать графом переходы между ними при операциях с числом. Но при чём тут этот конкретный граф с 16 вершинами вместо 10 и 48 рёбрами вообще непонятно. Как и упомянутая теорема (она по моему вообще о другом). Возможно мне для понимания не хватает знаний ...

[NeVZleTeam]

Dmitriy40 в сообщении #1502862 писал(а):

Но при чём тут этот конкретный граф с 16 вершинами вместо 10 и 48 рёбрами вообще непонятно.

Дам пояснение, возможно станет понятнее.

Изначально идея числа оптимизирующей рекурсии $48$ не получила видимого интереса сообщества и я решил её некоторым образом проиллюстрировать. В математике не так много объектов со свойством «иметь что-нибудь в количестве $48$» и после некоторых размышлений я выбрал из них граф Шрикханде с $48$ рёбрами, затем, пробежавшись по списку открытых математических проблем, прикинул какие из них можно решить оптимизирующей рекурсией и остановился на гипотезе Коллатца.

[grizzly]

NeVZleTeam в сообщении #1502925 писал(а):

В математике не так много объектов со свойством «иметь что-нибудь в количестве $48$» и после некоторых размышлений я выбрал из них граф Шрикханде с $48$ рёбрами, затем, пробежавшись по списку открытых математических проблем, прикинул какие из них можно решить оптимизирующей рекурсией и остановился на гипотезе Коллатца.

Нужно же было взять 42, а не 48. Ведь 42 решает любую открытую проблему (не только математическую), разве нет?

[Утундрий]

grizzly в сообщении #1502926 писал(а):

любую открытую проблему (не только математическую)

Приверженцы Математикализма утверждают, что не только математических (точнее, только не математических) проблем не существует, а бывают только лишь не только лишь математические.

[NeVZleTeam]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1502926 писал(а):

Нужно же было взять 42, а не 48. Ведь 42 решает любую открытую проблему (не только математическую), разве нет?

Это число стоит отдельной темы в Свободном полёте, пожалуй создам её.

[mihaild]

NeVZleTeam в сообщении #1502925 писал(а):

возможно станет понятнее

Нет, не станет.

Вы пытаетесь предложить для проверки какое-то связное доказательство, или просто фантазируете на нумерологическую тему? Если первое - то пока что никакого рассуждения не прослеживается, если второе - то почему в математическом разделе?

[NeVZleTeam]

mihaild в сообщении #1502685 писал(а):

Что это вообще значит?

Пожалуйста, уточните вопрос. Он слишком общий.

mihaild в сообщении #1502685 писал(а):

Где в графе Шрикханде цикл $4 - 2 - 1$?

На мой взгляд цикл $4 - 2 - 1$, а точнее, исходя из формулировки в первом посте темы, цикл $\to 1 \to 4 \to 1$ соответствует в графе Шрикханде бесконечному перемещению между $2$ соседними вершинами единственным образом по соединяющему их ребру.

mihaild в сообщении #1502685 писал(а):

Что значит "поместить число в граф"?

Задать соответствие между числом-контрпримером и произвольной вершиной графа.

StaticZero в сообщении #1502690 писал(а):

Это то есть люди бились-бились, а тут всё так просто и очевидно, как в учебнике для начальных классов?

Да.

(Оффтоп)

По моему глубокому убеждению, все задачи делятся ровно на $2$ типа: простые и сложные. У простых задач есть простые решения (пусть и требующие для их нахождения некоторого объёма специальных знаний), а сложных задач в математике нет.

StaticZero в сообщении #1502690 писал(а):

А для $ABC$-гипотезы у вас случайно нет такого же короткого доказательства, которое можно было бы поместить на слишком узкие поля форума?

Нет.

mihaild в сообщении #1502779 писал(а):

NeVZleTeam, где в вашем рассуждении используются конкретные коэффициенты (что четные числа делим на $2$, а нечетные умножаем на $3$ и прибавляем $1$)?

Поправлю: делим не на $2$, а на $2^m$. Конкретные коэффициенты (хотя лично я не считаю коэффициент $2^m$ конкретным) в моём рассуждении не используются нигде, они отождествлены с переходом между семействами множеств.