Сундуки и монеты

[Verkhovtsev]

geomath в сообщении #1502563 писал(а):

Миллиард я задаю, можно триллион.

Из заданного надо вычесть количество случаев, когда первой вынимается незолотая, потому что нас не интересуют такие случаи.

-- 25.01.2021, 01:48 --

geomath, кстати, можете проинтерпретировать то, что получилось в вашем численном эксперименте? То есть, почему в вашей программе получается именно это $333349254/1000000000.$

[ain1984]

Mihr в сообщении #1502542 писал(а):

ain1984, а Ваше собственное мнение каково? Каков должен быть ответ?

Сначала я думал, что ответ 1/2, но потом я начал сомневаться, составил программу и получил ответ 2/3. Я начал думать, в чём моя ошибка.
Хочу привести свои рассуждения.

[geomath]

Verkhovtsev в сообщении #1502566 писал(а):

Из заданного надо вычесть количество случаев, когда первой вынимается незолотая, потому что нас не интересуют такие случаи.

geomath, кстати, можете проинтерпретировать то, что получилось в вашем численном эксперименте? То есть, почему в вашей программе получается именно это $333349254/1000000000.$

Да, вычел, получилось 0.66669642991062.

[arseniiv]

ain1984 в сообщении #1502572 писал(а):

Хочу привести свои рассуждения.

Да, давайте, посмотрим.

Один из возможных случаев, когда получится $1/2$ — это если мы берём исходы «золотая в первом, серебряная во втором, золотая в третьем, серебряная в третьем» и притом считаем их равновероятными (и ошибка будет в последнем — любой из первых двух исходов вдвое вероятнее любого из последних двух). Но наверно это не ваш случай.

[ain1984]

arseniiv в сообщении #1502577 писал(а):

ain1984 в сообщении #1502572 писал(а):

Хочу привести свои рассуждения.

Да, давайте, посмотрим.

Будем исходить из условия задачи: какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?
Отсюда следует, что первая монета должна быть золотой. Эту монету мы можем вытащить либо из первого сундука, либо из третьего. Из второго сундука мы вытащить золотую монету не можем, поскольку там две серебряных монеты. Возникает вопрос: зачем нам второй сундук в условии задачи? А если бы сундуков с серебряными монетами было десять, это повлияло бы на ответ? Зачем нам нужны сундуки с серебряными монетами, если там нет золотых монет вообще?

Давайте мы исключим второй сундук (с серебряными монетами) из условия задачи вообще.
Теперь сформулируем равносильную задачу, в которой нет сундуков с двумя серебряными монетами.

У нас есть два сундука, в каждом из которых лежит по две монетки.

В первом — две золотых.
Во втором — одна золотая и одна серебряная.

Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем оттуда монетку. Она оказывается золотой. Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?

Согласны ли вы с тем, что эта задача равносильна первоначальной?

[arseniiv]

А вы неправильно нашли ответ на модифицированную задачу, там тоже будет $2/3$.

Вот это:

arseniiv в сообщении #1502539 писал(а):

Если монета оказалась золотой, у нас остались только исходы 1G1, 1G2, 3G, всё так же равновероятные. Вторая монета в выбранном сундуке тоже золотая только в случаях 1G1, 1G2, посему вероятность $2/3$.

всё так же справедливо. Отсюда конечно очевидно, что сколько ни взять сундуков, в которых нет ни одной золотой монеты, ничего не меняется.

-- Вс янв 24, 2021 22:37:26 --

А если мы будем считать золотые монеты совершенно неразличимыми, и иметь исходы «из первого сундука вытащили золотую» и «из второго сундука вытащили золотую», то вероятность первого будет в два раза больше, чем второго: сначала мы равновероятно выбираем сундук — половина для первого и половина для второго; затем в первом случае мы достаём золотую монету с единичной вероятностью, а во втором только с половинной — и выбранный сундук содержит ещё одну золотую монету только в первом случае, что из всех случаев вытаскивания золотой монеты чаще, чем второй случай.

-- Вс янв 24, 2021 22:40:33 --

И случай различимых монет связан со случаем неразличимых монет очень просто: два исхода 1G1, 1G2 первого слипаются в один исход 1G второго (и если мы рассматриваем серебряный сундук, то 2S1, 2S2 слипаются в 2S, но у оставшегося сундука монеты уже различимы и так, и эдак, и исходы взятия из него остаются отдельными). Исходы слипаются с сохранением вероятностей, так что ответ не зависит от того, считаем ли мы монеты различимыми или нет, и так будет в сущности всегда, коль скоро задача поставлена корректно и теорвер применён в решении тоже корректно.

UPD: вернул вероятность в положенные рамки.

[Mihr]

ain1984,
возможно, Вам будет легче, если Вы правильно решите упрощённую задачу. Пусть вообще нет сундуков с серебряными монетами - ни одного. Есть лишь два сундука: в одном две золотые монеты, в другом золотая и серебряная. Остальные условия не меняются. Какой будет ответ?

[kotenok gav]

ain1984 в сообщении #1502534 писал(а):

Уважаемый kotenok gav!
Ваше решение мне не понятно. Нельзя ли его обосновать с помощью слов и логических рассуждений?

Объясняю: вероятность выбрать первый сундук равна $\dfrac13$, то же самое с третьим, вероятность того, что первая вытащенная монета золотая - $\dfrac12$, вероятность того, что мы выбрали первый сундук при данном условии, что первая монета золотая равна вероятности того, что мы выбрали первый сундук И условие верно, делённой на вероятность того, что условие верно, а так как вероятность того, что мы выбрали первый сундук И условие верно равна вероятности выбрать сундук, мы имеем итоговую вероятность $\dfrac{\frac13}{\frac12}$ (в виде формул это было проще и красивее).

[Vladimir-80]

Вероятность вытащить первой золотую монету равна единице, так как это дано в условии задачи, это стартовая позиция. Считать вероятности начинаем отсюда. Далее у нас всего два варианта.

[kotenok gav]

Vladimir-80, а почему вы считаете, что вероятность, что был выбран первый сундук ПРИ условии, что мы вытащили золотую монету равна вероятности, что был выбран третий сундук при том же условии? Это не так.

[Mihr]

Vladimir-80 в сообщении #1502661 писал(а):

Вероятность вытащить первой золотую монету равна единице, так как это дано в условии задачи, это стартовая позиция.

Тут Вы, по-видимому, на собственном языке говорите. Что Вы понимаете под вероятностью? То, что задано в условии задачи?

[Vladimir-80]

kotenok gav, Mihr

Я отталкиваюсь от условий задачи. Дано: вытащили золотую монету. Факт свершившийся, его вероятность равна единице. Вопрос: какова вероятность того, что вторая монета в этом же сундуке окажется золотой? Ответ: одна из двух имеющихся возможностей ведёт к такому исходу.

[mihaild]

Vladimir-80, предлагаю вам такое пари: мы берем три сундука, выбираем случайный сундук, вытаскиваем монетку. Если она серебряная - то на этом заканчиваем, никто никому ничего не платит.
Если она золотая, то вытаскиваем вторую. Если она тоже золотая - вы платите мне 5 рублей, если серебряная - я плачу вам 7. С вашей точки зрения это пари вам выгодно - вы равновероятно теряете 5 рублей и получаете 7. Согласны?
Если нет, то чем эта ситуация по вашему мнению отличается от исходной задачи?

Vladimir-80 в сообщении #1502665 писал(а):

одна из двух имеющихся возможностей ведёт к такому исходу.

Ага, а вероятность встретить динозавра на Невском - $50\%$.

[Vladimir-80]

mihaild в сообщении #1502667 писал(а):

чем эта ситуация по вашему мнению отличается от исходной задачи?

Тем, что в задаче первая монета обязательно оказывается золотой по условию. И не важно, наугад ли, или с подсказкой. На старте уже есть золотая монета в руках. На старте уже исключён второй сундук с серебром. И задача предлагает угадать, какой из двух оставшихся сундуков перед нами.

[kotenok gav]

Vladimir-80 в сообщении #1502668 писал(а):

И задача предлагает угадать, какой из двух оставшихся сундуков перед нами.

Но равны ли вероятности выбора соответствующих сундуков? При условии, что первая монета золотая - нет.