Сундуки и монеты

[ain1984]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Хочу предложить вам задачу. По поводу решения этой задачи нет единого мнения, поэтому я создал опрос.
У меня есть своё мнение, но я хотел бы сначала узнать ваше. Вот условие задачи.

У нас есть три сундука, в каждом из которых лежит по две монетки.

В первом — две золотых.
Во втором — две серебряных.
В третьем — одна золотая и одна серебряная.

Мы выбираем сундук случайным образом и вслепую вытаскиваем оттуда монетку. Она оказывается золотой. Какова вероятность того, что вторая монетка в этом сундуке — тоже золотая?

[kotenok gav]

Пусть $A$ - событие, что мы вытащили золотую монетку, $B$ - что мы выбрали первый сундук, $C$ - что мы выбрали третий сундук. Тогда $P(B)=P(C)=\dfrac13$ и $P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=\dfrac13\times1+\dfrac13\times\dfrac12=\dfrac12$. Тогда $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(A|B)P(B)}{P(A)}=\dfrac{\frac13\times1}{\frac12}=\dfrac23$.

-- 25 янв 2021, 00:12 --

Тривиальная задача на теорему Байеса.

[ain1984]

Уважаемый kotenok gav!
Ваше решение мне не понятно. Нельзя ли его обосновать с помощью слов и логических рассуждений?

[arseniiv]

В этой ситуации такие равновероятные элементарные исходы:

1G1 — вытащили одну золотую монету из первого сундука
1G2 — вторую золотую из первого
2S1 — первую серебряную из второго
2S2 — вторую серебряную из второго
3G — золотую из третьего
3S — серебряную из третьего

Если монета оказалась золотой, у нас остались только исходы 1G1, 1G2, 3G, всё так же равновероятные. Вторая монета в выбранном сундуке тоже золотая только в случаях 1G1, 1G2, посему вероятность $2/3$.

[Mihr]

ain1984, а Ваше собственное мнение каково? Каков должен быть ответ?

[geomath]

arseniiv, в чем моя ошибка?

Взял случайный сундук, вынул из него случайную монетку. Если она золотая, вынул оттуда и вторую. Если и она золотая, то успех. Компьютер проделал все это 1 миллиард раз, получилось 333 349 254 успеха.

[mihaild]

geomath в сообщении #1502548 писал(а):

в чем моя ошибка?

В том, что вы считаете вероятность двух золотых, а не двух золотых при условии первой золотой.

[geomath]

mihaild в сообщении #1502549 писал(а):

В том, что вы считаете вероятность двух золотых, а не двух золотых при условии первой золотой.

А как тогда это учесть? Я ведь вроде учитываю: "если первая золотая".

[mihaild]

geomath в сообщении #1502554 писал(а):

А как тогда это учесть?

В знаменателе должно вместо миллиарда симуляций быть число успешных.

[geomath]

mihaild в сообщении #1502555 писал(а):

В знаменателе должно вместо миллиарда симуляций быть число успешных.

А успешные это какие?

[Mihr]

geomath,
подумайте над таким рассуждением. В отличие от формулы Байеса, оно вполне наглядно.
Поскольку золотых и серебряных монет изначально поровну, и они распределены симметричным образом, то вероятность вынуть в качестве первой монеты золотую или серебряную - одинакова. И таким образом равна одной второй. После того, как мы вынули золотую монету, стало ясно, что реализовалась одна из двух одинаковых возможностей, благоприятная для рассматриваемого исхода (две золотые). Значит, теперь прежнее значение вероятности - одна треть - должно удвоиться. Так понятнее?

[geomath]

Mihr, про парадоксы типа Монти Холла я знаю.

[Verkhovtsev]

geomath,

geomath в сообщении #1502548 писал(а):

Компьютер проделал все это 1 миллиард раз, получилось 333 349 254 успеха.

Вы, по-видимому, не отсекли из миллиарда случаев тех, при которых первая вынутая монета не золотая. Или это с отсечением получился ровно миллиард?

[geomath]

Verkhovtsev в сообщении #1502562 писал(а):

Вы, по-видимому, не отсекли из миллиарда случаев тех, при которых первая вынутая монета не золотая. Или это с отсечением получился ровно миллиард?

Миллиард я задаю, можно триллион.

[Mihr]

geomath,
здесь прямой аналогии с указанным парадоксом я как-то не вижу. Да и вообще никакого парадокса не вижу. Я лишь спросил: так понятнее? Если Вас это рассуждение ни в чём не убеждает, что ж... Может, найдёте собственное, которое Вас убедит.