Дифференциальное уравнение потерь в линии

[S_WT]

Есть длинная линия (или это называют линией с распределенными параметрами). Линия работает в согласованном режиме, т.е. в ней распространятся бегущая волна, иначе можно сказать, что отражение мощности от нагрузки отсутствует. Нужно найти мощность сигнала на выходе линии, поглощаемой нагрузкой, при известных:

мощности на входе линии $p = 5 $ Вт
длине линии $x = 70$ метров
паспортном значении затухания в линии $a = 0.1 \, dB/m$ (дециБелл/метр)

В начале линии потери на единицу длины должны быть больше, так как больше передаваемая мощность. К концу линии потери мощности должны становиться меньше. Нужно составить дифференциальное уравнение нахождения потерь в линии. Интуитивно я записал такое диф. уравнение:

$$\frac{dp}{dx}=-ap$$

Оно дает убывание мощности по экспоненте, это похоже на правду. Но интересно понять как его написать не интуитивно, а математически. Предполагаю такой вывод формулы. Вычисление можно записать в виде циклического алгоритма: $P_2 = P_1 - aP_2$ с выполнением в каждой итерации выражения $P_1 = P_2$, но это как то "не математично". Можно записать одну итерацию как $P=P-aP$ и далее продифференцировать для получения диф. уравнения, тогда получим

$$ \frac{dp}{dx} = 0 - a$$

Но в этом случае получается линейное убывание мощности по длине линии, что кажется не правильным, к тому же при определенном значении длины линии мощность становится равной нулю и далее уходит в отрицательные значения, а это противоречит физическому смыслу.

---

И второй вопрос по этому уравнению - как перевести параметр $a$ паспортного значения затухания в линии, выраженного в $dB/m$, в относительный коэффициент дифференциального уравнения $k$? Что бы получить $\frac{dp}{dx}=-kp$. Отношение мощностей выраженное в дБ (если нужна эта формула) определяется как:

$$K_d_B=10\log(\frac{P_2}{P_1})$$

где $P_1$ - мощность на входе, $P_2$ - мощность на выходе (к примеру если теряется половина мощности, то получается $-3$ дБ).

ps Прошу помочь разобраться. Я не математик, изучал ее 30 с лишним лет назад как один из курсов, но интересно разобраться в сути составления диф. уравнений.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вопрос, вообще говоря, не по математике.

-- 24.01.2021, 11:42 --

Во-первых, сделайте так, чтобы мощность на входе обозначалась иначе, чем переменная мощность в линии, а длина линии по обозначению отличалась от координаты участка линии (сейчас обозначения совпадают, что вносит дополнительную путаницу).

Во-вторых, рассмотрите малый участок линии, находящийся на некоторой координате. Как записать изменение мощности на этом малом участке?

[S_WT]

Pphantom в сообщении #1502471 писал(а):

Во-первых, сделайте так, чтобы мощность на входе обозначалась иначе, чем переменная мощность в линии,

Пусть мощность на входе обозначается как $P$, а мощность в линии обозначается как $P_l$.

Pphantom в сообщении #1502471 писал(а):

а длина линии по обозначению отличалась от координаты участка линии (сейчас обозначения совпадают, что вносит дополнительную путаницу).

По такому же принципу, пусть вся длина линии это $x$, а координата промежуточного участка линии $x_l$, хотя я не совсем понимаю для чего это нужно, ведь $x$, это независимая переменная для выводимого диф. уравнения.

Pphantom в сообщении #1502471 писал(а):

Во-вторых, рассмотрите малый участок линии, находящийся на некоторой координате. Как записать изменение мощности на этом малом участке?

Думаю так, хотя уже сомневаюсь так как не совсем понимаю как здесь ввести координату и для чего, ведь потеря мощности $dP$ должна быть пропорциональна мощности в данной координате, которую мы должны найти при решении уравнения на предыдущем шаге интегрирования (если решать численно): $P_l=P_l-kP_l$, где $k$ некоторый коэффициент находимый из параметра $a$, хотя пока не понимаю как.

[Pphantom]

S_WT в сообщении #1502481 писал(а):

Пусть мощность на входе обозначается как $P$, а мощность в линии обозначается как $P_l$.

Хорошо, хотя такой выбор неудобен, вторая величина будет встречаться чаще (и я бы обозначил их как $P_0$ и $P$ соответственно).

S_WT в сообщении #1502481 писал(а):

По такому же принципу, пусть вся длина линии это $x$, а координата промежуточного участка линии $x_l$,

Аналогично.

S_WT в сообщении #1502481 писал(а):

хотя я не совсем понимаю для чего это нужно, ведь $x$, это независимая переменная для выводимого диф. уравнения.

Вот потому вы его написать и не можете. В ваших обозначениях $x$ - это константа. Фиксированный параметр задачи, а не "независимая переменная".

S_WT в сообщении #1502481 писал(а):

ведь потеря мощности $dP$ должна быть пропорциональна мощности в данной координате,

Только не $dP$, а $dP_l$, раз уж вам было угодно переменную мощность обозначить именно так.

А по смыслу, да, правильно. Вот и и запишите формульно это утверждение. Именно это, а не какое-нибудь другое.

S_WT в сообщении #1502481 писал(а):

которую мы должны найти при решении уравнения на предыдущем шаге интегрирования (если решать численно): $P_l=P_l-kP_l$, где $k$ некоторый коэффициент находимый из параметра $a$, хотя пока не понимаю как.

А вот это писать не надо. Во-первых, потому что это для получения данного конкретного результата несущественно - вам надо записать изменение мощности на малом участке, а не думать, как мощность будет меняться до него. Во-вторых, вы пытаетесь написать дифференциальное уравнение, а не "решать численно", поэтому эрзацы операторов присвания тут не нужны.

[realeugene]

S_WT в сообщении #1502343 писал(а):

Прошу помочь разобраться. Я не математик, изучал ее 30 с лишним лет назад как один из курсов, но интересно разобраться в сути составления диф. уравнений.

Всё тривиально. Ответ несложно угадывается. Потери в линии на 1 метр пропорциональны мощности, которая дошла до этого метра. Значит, и решение для мощности в линии в зависимости от расстояния будет пропорционально входной мощности. Например, на вход первого метра линии у вас подан 1 Вт, а на выходе первого метра оказалось в волне 0.9 Вт. Тогда эти 0.9 Вт поданы на вход торого метра, и на его выходе будет пропорционально $0.9 * 0.9 = 0.9^2$ Вт. Аналогично, на выходе третьего метра мощность будет $0.9^3$ Вт, а на выходе линии, длиной $l$ метров мощность будет $0.9^l$ Вт, причём, длина не обязана выражаться целым числом метров. Вам осталось умножить на входную мощность (это был расчёт для 1 ватта, поданного на вход, для другой входной мощности выходная мощность изменится пропорционально), прологарифмировать полученное уравнение, связывающее выходную мощность с входной, и вместо константы 0.9 подставить правильный для вашей линии логарифмический декремент затухания, преобразовав децибеллы на метр в неперы на метр.

[S_WT]

Pphantom в сообщении #1502482 писал(а):

Вот и и запишите формульно это утверждение. Именно это, а не какое-нибудь другое.

Тогда получается так $P_l=P_l-kP_l$. Это верно?

Или так $P_l = P_l-kP_l^{d_x_l}$

[Pphantom]

S_WT в сообщении #1502489 писал(а):

Тогда получается так $P_l=P_l-kP_l$. Это верно?

Нет, неверно. Это утверждение - уравнение на $k$, из которого следует, что $k=0$.

S_WT в сообщении #1502489 писал(а):

Или так

Тем более.

Напомню, вы собирались написать, что потеря мощности $dP_l$ чему-то там пропорциональна. Вам не кажется, что формульная запись этого утверждения должна по крайней мере содержать $dP_l$? А если ее там нет, то, стало быть, вы пишете что-то не то.

[S_WT]

Нужно начать с производной?

$$\frac{dP_l}{dx}=-kP_l$$

Так?
Тут было бы хорошо узнать какие-то общие правила составления диф. уравнений. Студенческий курс я уже давно забыл, да и не было по моему темы такой.
Или так?

$$\frac{dP_l}{dx_l}=-kP_l$$

[Pphantom]

S_WT в сообщении #1502503 писал(а):

Нужно начать с производной?

Кхм... а что такое дифференциал, вы знаете? А то, похоже, проблема "зарыта" раньше, чем появляются дифференциальные уравнения, причем проблемы есть и с математикой, и с пониманием физического смысла происходящего.

S_WT в сообщении #1502503 писал(а):

Или так?

$$\frac{dP_l}{dx_l}=-kP_l$$

В ваших обозначениях - так. Но интуитивно вы это уже писали, надо бы понять, почему это правда.

[S_WT]

Pphantom в сообщении #1502507 писал(а):

Но интуитивно вы это уже писали, надо бы понять, почему это правда.

В этом и дело. Дифференциалы это $dP_l$ и $dx_l$ насколько я понимаю, это оба дифференциалы. Физическую суть дифференциала понимаю, просто очень маленький промежуток какой-то величины. Так? В данном случае на маленьком промежутке теряется маленькое значение мощности, разница поступает на вход следующего промежутка. Какой шаг я пропускаю?

[Pphantom]

S_WT в сообщении #1502515 писал(а):

Физическую суть дифференциала понимаю, просто очень маленький промежуток какой-то величины. Так?

Очень примерно. В данном контексте лучше понимать, что $dP_l$ - это изменение мощности при сдвиге в линии на расстояние $dx_l$.

S_WT в сообщении #1502515 писал(а):

Какой шаг я пропускаю?

Вы все время пытаетесь думать не о том. Вас сначала не должны интересовать предшествующие и последующие промежутки, а только тот конкретный, о котором идет речь. Итак, на его входе мощность равна $P_l$, он имеет длину $dx_l$. Чему будет равна поглощенная мощность $dP_l$ на этом участке, если относительное поглощение на один метр $a$ вы знаете?

[S_WT]

Pphantom в сообщении #1502516 писал(а):

Чему будет равна поглощенная мощность $dP_l$ на этом участке, если относительное поглощение на один метр $a$ вы знаете?

$dP_l = adx_l$

[Pphantom]

S_WT в сообщении #1502529 писал(а):

$dP_l = adx_l$

Теперь смотрим на размерности. Слева - изменение мощности, т.е. мощность. Справа - относительное изменение мощности на единицу длины, умноженное на единицу длины. Итого относительное изменение мощности, безразмерная величина. Так можно?

Ну и знаки. То, что справа, явно положительно (произведение двух положительных величин). Слева - отрицательное изменение.

[S_WT]

Pphantom в сообщении #1502530 писал(а):

Так можно?

А вот и прошу пояснить, можно или нет. В обычных формулах нельзя. Но ведь и здесь, $a$ измеряется в Вт/м (в относительных единицах если), $dx_l$ в метрах, значит справа то же мощность. Собственно это то же обычная формула. $dP_l = -adx_l$, минус так как мощность уменьшается.
Или вернее так $-dP_l=adx_l$