Рекуррентное соотношение с переменными коэффициентами

[a_petrov]

Здравствуйте. У меня задание - найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка в виде степенного ряда. В процессе решения я пришел к такому рекуррентному соотношению для коэффициентов степенного ряда:

$$ (n+1)(n+2)(a_{n+2}-a_{n+1})+a_n=0 $$

с начальными условиями

$$ a_0=2, \quad a_1=0. $$

Я выразил $a_{n+2}$ через $a_{n}$ и $a_{n+1}$, нашел несколько первых членов последовательности $\{a_n\}$. Но получить общую закономерность, найти явную зависимость $a_n$ от номера $n$ не получается. Вообще, решается ли в явном виде это рекуррентное соотношение? Можно ли найти формулу, выражающую зависимость $a_n$ от $n$? У меня возникли сомнения, что это можно сделать.

[Farest2]

Степенной ряд по степеням $x$ или, всё-таки, $1-x$? Во втором случае ещё туда-сюда, в первом -- вообще тоска, поскольку из рекурсии "восстанавливается" дифур

$$ (1-x)y''-2y'+y=0, $$

а его решение при указанных начальных данных -- это

$$ y(x)=\frac{2\pi}{\sqrt{1-x}}\Bigl(-Y_2(2)J_1(2\sqrt{1-x}\,)+J_2(2)Y_1(2\sqrt{1-x}\,)\Bigr). $$

[a_petrov]

Да, дифур именно такой. Степенной ряд по степеням $x$. То есть никак не получить явную зависимость $a_n$ от $n$? Преподаватель требует получить...

[novichok2018]

Я правильно понял, что данная рекурсия - это соотношение для коэффициентов Фурье указанной выше функции, являющейся решением указанного ДУ?

[Farest2]

Нет, это Тейлор:

$$ y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n=2-x^2-x^3-\ldots $$

Кстати, при замене $a_n=b_n/n!$ получаем более вменяемую рекурсию:

$$ b_{n+2}=(n+2)b_{n+1}-b_n,\quad b_0=2,\; b_1=0. $$

Можно попробовать Зильбергера на неё напустить.

[novichok2018]

Последнее соотношение наверное можно к постоянным коэффициентам привести, нет?
Понял, это я ошибся, конечно Тэйлор, не Фурье.

[Farest2]

Зильбергер не помог -- гипергеометрических решений у рекурсии для $b_n$ нет. Из-за факториального роста $b_n$ пытаться и тут восстановить дифур бессмысленно. Что делать не знаю. Впрочем, и исходно для $a_n$ всё было сомнительно. Если эта задача не из серии "гробов", хотелось бы увидеть решение. Может, преподаватель покажет решение (если знает)? А то как в анекдоте "... молча достаёт и отдаёт пять долларов".

[B@R5uk]

Если положить

$$G(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kz^k$$

то с учётом рекуррентной формулы получается

$$G(z)=2+\sum\limits_{k=2}^\infty kb_{k-1}z^k-\sum\limits_{k=2}^\infty b_{k-2}z^k$$

и для функции G у меня выходит такое вот дифференциальное уравнение с начальным условием $G(0)=2$:

$$G=2-2z+z\frac{d}{dz}(zG)-z^2G$$

Оно должно решаться...

[Farest2]

B@R5uk в сообщении #1501848 писал(а):

Оно должно решаться...

Должно... Но такая заумь получается, что бестолку.

Впрочем, ещё один "подход к снаряду": если вернуться к решению $y(x)$ через Бесселей и записать составляющие через ряды, затем устроить перекомпоновку, то можно получить, что

$$ a_n=\frac{2}{n!}\cdot\frac{Y_{n+1}(2)J_2(2)-J_{n+1}(2)Y_2(2)}{Y_1(2)J_2(2)-J_1(2)Y_2(2)}. $$

Знаменатель -- это $1/\pi$, но лучше оставить как есть, чтобы сразу было видно, что $a_0=2$ и $a_1=0$. Формула, конечно, халтурная, но формально можно считать за ответ. Поскольку $J_n(2)$ и $Y_n(2)$ удовлетворяют общей рекурсии $z_{n+1}=nz_n-z_{n-1}$, то получается исходная рекурсия для $a_n$. Попытки раскрыть ряды заводят в дебри, где присутствуют с гармонические числа, и становится понятно, почему не сработал Зильбергер.