Оно должно решаться...
Должно... Но такая заумь получается, что бестолку.
Впрочем, ещё один "подход к снаряду": если вернуться к решению

через Бесселей и записать составляющие через ряды, затем устроить перекомпоновку, то можно получить, что

Знаменатель -- это

, но лучше оставить как есть, чтобы сразу было видно, что

и

. Формула, конечно, халтурная, но формально можно считать за ответ. Поскольку

и

удовлетворяют общей рекурсии

, то получается исходная рекурсия для

. Попытки раскрыть ряды заводят в дебри, где присутствуют с гармонические числа, и становится понятно, почему не сработал Зильбергер.