Лемма Гейне-Бореля и не-полуаддитивная мера

[artempalkin]

Эти мои размышления восходят к изучению Колмогорова "Элементы теории функции..."

Там приводится пример следующего множества и меры на нем:

Пусть $X=\mathbb{Q}$, а $\mathfrak{S}_m$ состоит из пересечений множества $X$ со всеми произвольными интервалами, полуинтервалами и отрезками, принадлежащими отрезку $[0,1]$. Для каждого такого множества с концами в $a,b$ положим $m(A_{ab})=b-a$. Такая функция будет мерой на множестве, при этом, очевидно, не полуаддитивной и не сигма-аддитивной.

Все это замечательно, но в Колмогорове полуаддитивность и далее сигма-аддитивность меры доказывается с применением леммы Гейне-Бореля. И вот вопрос: для $\mathfrak{S}_m$ разве она не будет соблюдаться? Я что-то не вижу причин, чтобы лемма не работала.

Или, иначе говоря, в чем тут загвоздка? Понятно, что эта мера не полуаддитивна и не сигма-аддитивна, но что принципиально отличает ее от, скажем, обычной меры на элементарных множествах?

[mihaild]

Так из неё же следует, что у любой ограниченной последовательности есть предельная точка (потому что если предельной точки нет, то у каждой точки есть окрестность, в которой конечное число точек последовательности, по лемме из этих окрестностей можно выбрать конечное подпокрытие - то есть покрыть всю последовательность конечным числом множеств, каждое из которых содержит конечное число элементов). Вы можете привести пример ограниченной последовательности рациональных чисел, у которой нет предельной точки?

[artempalkin]

mihaild
Два дня думал над этим комментарием и вроде бы разобрался :) но не до конца

mihaild в сообщении #1500802 писал(а):

Так из неё же следует, что у любой ограниченной последовательности есть предельная точка (потому что если предельной точки нет, то у каждой точки есть окрестность, в которой конечное число точек последовательности, по лемме из этих окрестностей можно выбрать конечное подпокрытие - то есть покрыть всю последовательность конечным числом множеств, каждое из которых содержит конечное число элементов).

Ну да, то есть, получается, теорема Больцано-Вейрштрасса (кроме прочего) следует из леммы Гейне-Бореля (а лемма Гейне-Бореля в том доказательстве, в котором я ее знаю, следует из существования у ограниченного множества точной верхней грани, а это я уже точно не помню из чего следует). Естественно, мы тут говорим о множестве действительных чисел, со всякими другими я пока плохо знаком.

mihaild в сообщении #1500802 писал(а):

Вы можете привести пример ограниченной последовательности рациональных чисел, у которой нет предельной точки?

Нет ну как бы по теореме Больцано-Вейерштрасса понятно, что такой последовательности нет :)

Дальше я в оффтопе напишу кое-какие рассуждения, на которые меня навел ваш комментарий

(Оффтоп)

Ко мне в голову вкралось подозрение, что лемма Гейне-Бореля будет работать только в сепарабельных пространствах. То есть в сепарабельных точно будет, основываясь на логике, которую вы предложили, плюс, соответственно, в сепарабельных пространствах точно будет работать теорема Больцано-Вейерштрасса. Но я подозреваю, что в несепарабельных они работать не будут, хотя над явным доказательством надо подумать, если оно есть

Но я все-таки не очень понял, как ваш комментарий, при всей его самоценности, касается моего вопроса о специфике множества с мерой $\mathfrak{S}_m$, которое приводит в пример Колмогоров.

[DeBill]

artempalkin в сообщении #1501424 писал(а):

а это я уже точно не помню из чего следует).

А вот это - зря...Однако, из аксиомы полноты это следует. Так что в Вашем комменте надо бы заменить слово "сепарабельность" на "полноту". И вот тут у Вас бы и возник вопрос: полноте, ребята, а полно ли множество рациональных чисел??

artempalkin в сообщении #1501424 писал(а):

Нет ну как бы по теореме Больцано-Вейерштрасса понятно, что такой последовательности нет :)

Нет ну как бы теоремы Больцано-Вейерштрасса нет, и, понятно, что такой последовательность есть :)

[Someone]

artempalkin в сообщении #1501424 писал(а):

Ну да, то есть, получается, теорема Больцано-Вейрштрасса (кроме прочего) следует из леммы Гейне-Бореля (а лемма Гейне-Бореля в том доказательстве, в котором я ее знаю, следует из существования у ограниченного множества точной верхней грани, а это я уже точно не помню из чего следует).

А Вы бы всё-таки выяснили, из чего.

artempalkin в сообщении #1501424 писал(а):

Ко мне в голову вкралось подозрение, что лемма Гейне-Бореля будет работать только в сепарабельных пространствах.

Как ни удивительно, сепарабельность никакого отношения к этому вопросу не имеет. Как только выясните, из чего следует существование точной верхней (и нижней) грани, так и поймёте, что сепарабельность ни при чём.

artempalkin в сообщении #1501424 писал(а):

Но я все-таки не очень понял, как ваш комментарий, при всей его самоценности, касается моего вопроса о специфике множества с мерой $\mathfrak{S}_m$, которое приводит в пример Колмогоров.

Вот здесь тоже необходимо выяснить, из чего следует существование точной верхней (и нижней) грани. Тогда и поймёте, чего не хватает множеству рациональных чисел.

[DeBill]

Вопчем, Вы упорно не замечаете то, что написано у Вас в самом начале:

artempalkin в сообщении #1500785 писал(а):

Пусть $X=\mathbb{Q}$

[artempalkin]

DeBill
Someone
Спасибо большое за пояснение, явное и завуалированное, я понял, что дело в полноте пространства (по поводу того, что только в полных пространствах работает теорема о ТВГ ограниченной последовательности -- надо подумать, как это доказывается, но как факт верю вам).

DeBill в сообщении #1501440 писал(а):

Нет ну как бы теоремы Больцано-Вейерштрасса нет, и, понятно, что такой последовательность есть :)

Если такой последовательность есть, то я лучше пойму комментарий mihaild. Но, конечно, $\mathbb{Q}$ не полно, т.к. можно придумать последовательности, которые сходятся к иррациональным числам (то есть они фундаментальны, если посмотреть на них с точки зрения $\mathbb{R}$, так сказать), но ведь иррациональные числа не есть элементы нашего множества.

Тогда, соответственно, теорема о ТВГ работать не будет, ЛГБ тоже отменяется и у меры нет шанса быть полу-аддитивной.

(Оффтоп)

Кстати, тут я малость запутался... у нас же вообще никакая метрика не задана, задана только мера. То есть у нас не метрическое пространство, а множество с мерой. О какой полноте в принципе можно говорить? То есть, если я хочу ответить на вопрос, работает ли, скажем, ЛГБ на множестве с мерой, мне нужно ввести метрику, проверить полноту и в таком духе? Ведь для ЛГБ нужны лишь отрезки и интервалы, метрика не нужна, или я чего-то не понимаю? Извините, слаб я пока что в функане

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1501445 писал(а):

то есть они, конечно, фундаментальны, если посмотреть на них с точки зрения $\mathbb{R}$, так сказать

Фундаментальность не зависит от объемлющего пространства.
В полных пространствах фундаментальность равносильна сходимости, в неполных - нет.

artempalkin в сообщении #1501445 писал(а):

То есть у нас не метрическое пространство, а множество с мерой

У нас конкретное множество с конкретной мерой - $\mathbb R$. И мы доказываем полуаддитивность этой меры. При этом, естественно, можно пользоваться тем, что мы знаем про метрику $\mathbb{R}$. И это оказывается важно - если мы очень похожим способом определим меру на неполном пространстве (например на $\mathbb{Q}$), то полуаддитивности уже не будет.

artempalkin в сообщении #1501445 писал(а):

работает ли, скажем, ЛГБ на множестве с мерой

Это бессмысленный вопрос. Лемма Гейне-Борреля формулируется для $\mathbb{R}^n$, а не произвольных пространств с мерой.

artempalkin в сообщении #1501445 писал(а):

Ведь для ЛГБ нужны лишь отрезки и интервалы, мера не нужна

Всё так. Но мы тем не менее имеем право её использовать, доказывая что-то про меру на $\mathbb{R}$.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1501447 писал(а):

Фундаментальность не зависит от объемлющего пространства.

Да, это я понимаю. Просто я таким образом поясняю, как однозначно и быстро доказать, что последовательность рациональных чисел, сходящихся к иррациональным будет фундаментальной. Метрика же остается все той же $\rho(x,y)=|x-y|$, так что фундаментальность осталась, а предел пропал.

mihaild в сообщении #1501447 писал(а):

И это оказывается важно - если мы очень похожим способом определим меру на неполном пространстве (например на $\mathbb{Q}$), то полуаддитивности уже не будет.

Но, к примеру, могу ли я определить метрику на $\mathbb{Q}$ (точнее на моем множестве с мерой, состоящем из рациональных чисел) так, что оно станет полным, и будет соблюдаться ЛГБ, и мера станет полу-аддитивной? Вот это интересно.

mihaild в сообщении #1501447 писал(а):

Это бессмысленный вопрос. Лемма Гейне-Борреля формулируется для $\mathbb{R}^n$, а не произвольных пространств с мерой.

Так ведь изначально мы тут рассматриваем не $\mathbb{R}^n$ и рассуждаем о ЛГБ :) Получается, бессмысленный разговор ведем?

mihaild в сообщении #1501447 писал(а):

Ведь для ЛГБ нужны лишь отрезки и интервалы, мера не нужна Всё так. Но мы тем не менее имеем право её использовать, доказывая что-то про меру на $\mathbb{R}$.

Я там подправил, на самом деле я имел в виду следующее:

artempalkin в сообщении #1501445 писал(а):

Ведь для ЛГБ нужны лишь отрезки и интервалы, метрика не нужна, или я чего-то не понимаю?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1501448 писал(а):

могу ли я определить метрику на $\mathbb{Q}$ (точнее на моем множестве с мерой, состоящем из рациональных чисел) так, что оно станет полным, и будет соблюдаться ЛГБ, и мера станет полу-аддитивной?

Если вы определяете меру интервала как его длину, а меру точки - как 0, то эта мера уже не является полуаддитивной независимо от меры.
Как именно вы хотите сформулировать лемму Гейне-Бореля? Стандартная формулировка вообще явно не упоминает топологию, а только порядок.

artempalkin в сообщении #1501448 писал(а):

Так ведь изначально мы тут рассматриваем не $\mathbb{R}^n$ и рассуждаем о ЛГБ

Понятно, как сформулировать утверждение, похожее на лемму Гейне-Бореля, для рациональных чисел, но оно будет неверно. Поэтому и попытка доказать полуаддитивность меры аналогично тому, как это делалось для $\mathbb R$, провалится.

[kmpl]

artempalkin в сообщении #1501448 писал(а):

Метрика же остается все той же $\rho(x,y)=|x-y|$, так что фундаментальность осталась, а предел пропал.

Формально метрика на $\mathbb{Q}$ и метрика на $\mathbb{R}$ - разные метрики.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1501453 писал(а):

Если вы определяете меру интервала как его длину, а меру точки - как 0, то эта мера уже не является полуаддитивной независимо от меры.

(Оффтоп)

Независимо от метрики, вы имеете в виду. И вы подразумеваете на множестве рациональных чисел (потому что на множестве действительных чисел такая мера вполне себе будет полуаддитивной).

Да, согласен, метрикой не исправишь того, что очевидно.

mihaild в сообщении #1501453 писал(а):

Понятно, как сформулировать утверждение, похожее на лемму Гейне-Бореля, для рациональных чисел, но оно будет неверно. Поэтому и попытка доказать полуаддитивность меры аналогично тому, как это делалось для $\mathbb R$, провалится.

Да, в целом очень плодотворно обсудили вопрос, спасибо большое!

(Оффтоп)

kmpl в сообщении #1501457 писал(а):

Формально метрика на $\mathbb{Q}$ и метрика на $\mathbb{R}$ - разные метрики.

Мне кажется, это очень изящное доказательство утверждения "Сходящаяся в $\mathbb{R}$ последовательность рациональных чисел фундаментальна в $\mathbb{Q}$".

Сходится в $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ фундаментальна в в $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ фундаментальна в $\mathbb{Q}$ (т.к. расстояния никак не меняются).

Иначе же, я так думаю, можно сказать, что "подмножество рациональных чисел в $\mathbb{R}$ с обычной метрикой изоморфно $\mathbb{Q}$ с обычной метрикой, так будет вернее?

-- 17.01.2021, 11:16 --

Но вообще интересно получается.

Представим, что мы берем $\mathbb{R}$ без метрики, а только с отношением порядка, и пытаемся разобраться, будет ли лемма Гейне-Бореля действовать. Мы знаем, что будет, значит это единственное, что мы должны быть способны доказать, но что-то не получается. Мы вводим метрику, и тут ЛГБ доказывается. Но ведь ЛГБ не нуждается в метрике...
Видимо, есть способ доказать ЛГБ на $\mathbb{R}$ без метрики, но сложный и сильно нетривиальный.

[kmpl]

artempalkin в сообщении #1501518 писал(а):

Сходится в $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ фундаментальна в в $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ фундаментальна в $\mathbb{Q}$ (т.к. расстояния никак не меняются).

Да, идея ровно эта.

artempalkin в сообщении #1501518 писал(а):

Иначе же, я так думаю, можно сказать, что "подмножество рациональных чисел в $\mathbb{R}$ с обычной метрикой изоморфно $\mathbb{Q}$ с обычной метрикой, так будет вернее?

Изоморфизм в данном случае имеется в виду в алгебраическом смысле, поэтому метрика к нему никакого отношения не имеет. Но она имеет отношение к изометричности. Ещё я бы более аккуратно использовал выражение "подмножество рациональных чисел в $\mathbb{R}$ с обычной метрикой". Я понимаю, что Вы имеете в виду, но строго говоря это "подмножество с обычной метрикой" метрическим пространством не является.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1501518 писал(а):

Мы вводим метрику, и тут ЛГБ доказывается. Но ведь ЛГБ не нуждается в метрике...

Для леммы Гейне-Бореля достаточно существование точной верхней грани у ограниченного мнножества. А это свойство отношения порядка, метрика для него не нужна.

[artempalkin]

kmpl в сообщении #1501526 писал(а):

строго говоря это "подмножество с обычной метрикой" метрическим пространством не является.

Тогда я несколько не понимаю вашей претензии по поводу того, что метрики в $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$ разные. Если $\mathbb{Q}$ не пространство само по себе, тогда метрику в нем можно рассматривать только как метрику некоторого подмножества $\mathbb{R}$, то есть метрику $\mathbb{R}$.

-- 17.01.2021, 11:59 --

mihaild в сообщении #1501527 писал(а):

Для леммы Гейне-Бореля достаточно существование точной верхней грани у ограниченного мнножества. А это свойство отношения порядка, метрика для него не нужна.

Мой главный вывод из нашего здесь диалога (и намеков и прямых указаний DeBill и Someone), что для доказательства существования ТВГ у ограниченного множества необходима полнота пространства, а о какой полноте может идти речь, если пространство не метрическое? Видимо, я вообще ничего не понял в конечном итоге.