Задача теплопроводности - поток тепла от двух переменных

[Vince Diesel]

Верно. Только $ \tilde p(y,t)=T(0,y,t)-T_0$ это разность температур. А интеграл от $Z_{xx}(0,y-Y,t-\tau)$ не сходится абсолютно. Для гладкой функции в смысле главного значения сходится и если сетка равномерная, то все хорошо (и не брать значение $\tilde p$ в точке $Y=y$, $\tau=t$). Только если есть погрешности, может, стоит посмотреть, насколько они будут сказываться и сравнить с какими-нибудь вариантами регуляризации. Вроде того, что я предлагал: взять $Z_{xx}(\varepsilon,y-Y,t-\tau)$.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1493380 писал(а):

Верно. Только $ \tilde p(y,t)=T(0,y,t)-T_0$ это разность температур. А интеграл от $Z_{xx}(0,y-Y,t-\tau)$ не сходится абсолютно. Для гладкой функции в смысле главного значения сходится и если сетка равномерная, то все хорошо (и не брать значение $\tilde p$ в точке $Y=y$, $\tau=t$). Только если есть погрешности, может, стоит посмотреть, насколько они будут сказываться и сравнить с какими-нибудь вариантами регуляризации. Вроде того, что я предлагал: взять $Z_{xx}(\varepsilon,y-Y,t-\tau)$.

А как же я могу не брать значение $\tilde p$ в точке $Y=y$, $\tau=t$, если у меня температура измерена в строго фиксированных точках? То есть мне известно, что в точке $y_i$ эволюция температуры такая-то $T(y_i,t)$ — набор значений.
И чем мне их заменить: искать поток между $y_i$ и $y_{i-1}$, а самое главное: на каком основании?

[Vince Diesel]

Если значений много, то удаление одного не должно сильно сказаться на ответе.

Но, при желании, можно и учесть. Если $\tilde p$ липшицева, то

$$ \int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(z,\tau)\,dzd\tau= \int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(x,y-z,t-\tau) (\tilde p(z,\tau)-\tilde p(y,t))\,dzd\tau+ $$

$$ + \tilde p(y,t)\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(x,y-z,t-\tau)\,dzd\tau, $$

и второе слагаемое равно

$$ \tilde p(y,t)\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{1xx}(x,t-\tau) Z_2(y-z,t-\tau) \,dzd\tau= \frac{\tilde p(y,t)}{\alpha_x}\int_0^tZ_{1t}(x,t-\tau) \,d\tau =\frac{\tilde p(y,t)}{\alpha_x}Z_{1}(x,t). $$

Переходя к приделу $x\to0+$ для исходного выражения получим

$$ \int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(0,y-z,t-\tau) \tilde p(z,\tau)\,dzd\tau= \int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(0,y-z,t-\tau) (\tilde p(z,\tau)-\tilde p(y,t))\,dzd\tau+ \frac{\tilde p(y,t)}{\alpha_x}Z_{1}(0,t). $$

Интеграл справа уже будет сходиться абсолютно.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1491974 писал(а):

Температура внутри тела выражается через значения на поверхности с помощью потенциала простого слоя:

$$ T(x,y,t)=T_0-{2\alpha_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{x}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,\tau)\,dzd\tau. $$

Соответственно для $T_x$ внутри интеграла будет стоять $Z_{xx}$.

Уважаемый Vince Diesel!
У меня вопрос: если пластина бесконечна по $y$, конечна по $x$, глубиной $\delta$ и греется тепловым потоком $q(y,t)$ при $x=0$ то, правильно ли я понимаю, что тогда выражение для температуры поверхности пластины примет следующий вид (при том, что начальная температура $T_0=0$):

$$ T(0,y,t)=-\frac {2\alpha_x} {K_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty \int_\delta^0 Z_{x}(0-X,y-Y,t-\tau) q(Y,\tau)\,dXdYd\tau, $$

где $Z_x$ — первая производная функции Грина по $x$, заданная следующим выражением:

$$ Z_x(x,y,t)=-H(t) \frac {x} {8 \pi t\sqrt{\alpha_x \alpha_y} \alpha_x t^2} \exp(-{\frac {1} {4t}} (\frac {x^2} {\alpha_x} + \frac {y^2} {\alpha_y})), $$

где $H(t)$ — функция Хевисайда.

[Vince Diesel]

Нет. И чтобы температура определялась однозначно, надо задать краевое условие на стороне $x=\delta$.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1500858 писал(а):

Нет. И чтобы температура определялась однозначно, надо задать краевое условие на стороне $x=\delta$.

Так имелось в виду, что вся пластина, при любом $x$ и $y$ в начальный момент времени ($t=0$) имеет температуру $T_0=0$

[Vince Diesel]

На крае $x=0$ у вас задан тепловой поток $q$ (т.е. нечто пропорциональное $T_x|_{x=0}$?) для всех значений времени. Точно также надо что-то задать и при $x=\delta$.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1500884 писал(а):

На крае $x=0$ у вас задан тепловой поток $q$ (т.е. нечто пропорциональное $T_x|_{x=0}$?) для всех значений времени. Точно также надо что-то задать и при $x=\delta$.

А... теперь понял ваше замечание, сразу не догнал.
Условие на границе $x=\delta$:

$T(x,y,t)|_{x=\delta}=T_0$

Тогда,

$$ T(0,y,t)=-\frac {2\alpha_x} {K_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty \int_\delta^0 Z_{x}(0-X,y-Y,t-\tau) q(Y,\tau)\,dXdYd\tau + {\alpha_x}T_0\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{x}(\delta,y-Y,t-\tau)dYd\tau $$

Соответственно, если $T_0=0$, то больше второе слагаемое тоже ноль.

[Vince Diesel]

Не понимаю, откуда такая формула. Если границ две, то решения для каждой не складываются.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1501358 писал(а):

Не понимаю, откуда такая формула. Если границ две, то решения для каждой не складываются.

Ну, я ориентировался на книгу K.D. Cole J.V. Beck "Heat Conduction Using Green's Functions." 2-е изд. стр. 68, там разобран одномерный случай и указано, что температуру тела $T(x,t)$ можно представить в виде трёх слагаемых: 2 условия на границах и внутри тела. Вот я и сделал по аналогии.

[Vince Diesel]

Там в формуле стоит не фундаментальное решение, а функция Грина. Для температуры с условием $K_x T_x|_{x=0}=q$ и нулевыми условиями при $t=0$ и $x=\delta$ будет

$$ T(x,y,t)=-\frac {\alpha_x} {K_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty G(x,y,0,Y,t-\tau) q(Y,\tau)\,dYd\tau. $$

И да, сводится к одномерному случаю: $G(x,y,X,Y,t)=G_1(x,X,t)Z_2(y-Y,t)$, где $G_1$ — функция Грина задачи $u_t-\alpha_xu_{xx}=0$, $u_x|_{x=0}=0$, $u|_{x=\delta}=0$, которая рассматривается на с. 68 (с точностью до перестановки условий на границах).

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1501513 писал(а):

Там в формуле стоит не фундаментальное решение, а функция Грина. Для температуры с условием $K_x T_x|_{x=0}=q$ и нулевыми условиями при $t=0$ и $x=\delta$ будет

$$ T(x,y,t)=-\frac {\alpha_x} {K_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty G(x,y,0,Y,t-\tau) q(Y,\tau)\,dYd\tau. $$

И да, сводится к одномерному случаю: $G(x,y,X,Y,t)=G_1(x,X,t)Z_2(y-Y,t)$, где $G_1$ — функция Грина задачи $u_t-\alpha_xu_{xx}=0$, $u_x|_{x=0}=0$, $u|_{x=\delta}=0$, которая рассматривается на с. 68 (с точностью до перестановки условий на границах).

Признаю был глубоко не прав — почему-то посчитал, что функция Грина и Фундаментальное решение — это одно и тоже.
Тогда позвольте ещё один вопрос, чтобы себя проверить. Я немного переформулирую задачу.

Запишем двумерное уравнение теплопроводности для пластины бесконечной по $y$:

$${K_x}\frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {x}^2}+K_y \frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {y}^2}={\rho}C_p\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {t}}$$

$\alpha_i=\frac {K_i} {\rho C_p}$, где $K$ — коэффициент теплопроводности, $\rho$ — плотность и $C_p$ — теплоёмкость материала из которого сделана пластина.

Начальное условие:

$$T(x,y,t=0)=T_0$$

Граничные условия:

$$-K_x\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {x}}|_{x=0}={q(y,t)}$$

$$\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {x}}|_{x=\delta}=0$$

$$y{\epsilon}[-\infty,\infty]$$

Решением такого уравнения будет (вот тут у меня сомнения):

$$ T(x,y,t)=\frac {\alpha_x} {K_x}\int_0^t G_{X22}(x,t|\delta,0) {\int_{-\infty}^{\infty}} Z(y-Y,t-\tau)q(Y,\tau)dYd\tau $$

Здесь $H(t)$ — функция Хевисайда, $Z(y,t)$ — фундаментальное решение:

$$ Z(y,t)=H(t) \frac {1} {\sqrt{ 4 \pi t \alpha_y}} \exp(-{\frac {1} {4t}} \frac {y^2} {\alpha_y}). $$

А $G_{X22}$ — функция Грина, здесь $F(x,t)$ — фундаментальное решение, но с $\alpha_x$

$$ G_{X22}(x,t|X,\tau)=\sum_{n=-{\infty}}^{\infty}[F(2n\delta+x-X,t-\tau)+F(2n\delta+x+X,t-\tau)] $$

-- 17.01.2021, 14:03 --

Тогда для температуры на поверхности получится:

$$T(0,y,t)=\frac{\alpha_x}{K_x} G_{X22}(0,t|\delta,0) \int_0^t \int_{-\infty}^{\infty}Z(y-Y,t-\tau)q(Y,\tau)dYd\tau$$

[Babeuf]

Короче говоря, для нахождения температуры следует использовать функцию Грина $G_{ХX22Y00}$

[Vince Diesel]

Почти:

$$ T(x,y,t)=T_0+\frac {\alpha_x} {K_x}\int_0^t G_{X22}(x,t|0,\tau) {\int_{-\infty}^{\infty}} Z(y-Y,t-\tau)q(Y,\tau)dYd\tau. $$

Babeuf в сообщении #1501546 писал(а):

Короче говоря, для нахождения температуры следует использовать функцию Грина $G_{ХX22Y00}$

Если у вас вторая краевая задача, то да. Выше был другая.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1501552 писал(а):

Почти:

$$ T(x,y,t)=T_0+\frac {\alpha_x} {K_x}\int_0^t G_{X22}(x,t|0,\tau) {\int_{-\infty}^{\infty}} Z(y-Y,t-\tau)q(Y,\tau)dYd\tau. $$

Babeuf в сообщении #1501546 писал(а):

Короче говоря, для нахождения температуры следует использовать функцию Грина $G_{ХX22Y00}$

Если у вас вторая краевая задача, то да. Выше был другая.

Да, выше была другая. Я немного поменял условия.
Спасибо, я понял почему ошибся, плюс температуру начальную забыл.