Посчитать карточную вероятность

[geomath]

В задачнике эта задача помечена звездочкой как трудная. Задачник старый, компьютеров тогда не было - численно, на компьютере, она решается легко. Правда, возможно, что я где-то ошибаюсь, но сходимость получается так себе. А как решить эту задачу без компьютера, да и нужно ли теперь к этому стремиться, я не знаю.

Берется колода карт, половина красных отбрасывается. Оставшиеся карты перемешиваются, а затем последовательно открываются (без возврата в колоду). Какова вероятность, что открытых черных карт всегда будет больше, чем открытых красных?

[alisa-lebovski]

Это классическая задача о баллотировке, или теорема Бертрана о выборах (см. Википедию).

[geomath]

Точно. Я даже припоминаю теперь, что читал что-то такое про выборы, но именно Бертрана не вспомнил. Да, трудная задача. Чтобы доказать ответ по индукции, надо знать его заранее.

[geomath]

В исходной карточной задаче ответ 1/3.

[geomath]

В задаче спрашивается о строгом доминировании. Хорошо, а если оно не строгое, тогда как? Какова вероятность, что открытых черных карт всегда будет не меньше, чем открытых красных?

[geomath]

geomath в сообщении #1500452 писал(а):

Точно. Я даже припоминаю теперь, что читал что-то такое про выборы, но именно Бертрана не вспомнил.

Вот это номер! Оказывается, ветка Задача о баллотировке здесь уже есть, была в 2006 году, и автором ее был... я!! Правда, закончилась она бесславно. Откуда взялся этот esperanto, "студент-докторант", я не знаю. И чего он взъелся? В конце концов назвал меня хамом и исчез навсегда.

Вот ведь память, совершенно все забыл. Собственно, с этой задачей я и пришел на форум. Удивительно просто. Кстати говоря, весной прошлого года я переболел коронавирусом, хоть и относительно легко, как раз в разгар пандемии. Самого вируса у меня не нашли, но симптомы были очень похожие. Да, к сожалению, сказалось на моей памяти, она заметно ухудшилась. Вот и независимое подтверждение имеется.

Но главное не это, а то, что тогда своего компьютера у меня не было, теперь же он есть. И я, возможно, на тот вопрос отвечу - прямо здесь.

[Lia]

geomath
Не отвлекайтесь, иначе эта ветка закончится так же, как и та.

[geomath]

Да, не отвлекаюсь. В исходной задаче, о баллотировке получается, доминирование одного над другим предполагается все время строгим. А вот нестрогого я что-то, посмотрел-полистал, не нашел. Какова вероятность в этом случае? (По-хорошему надо было с этого и начать.)

[alisa-lebovski]

Посмотрите в Феллере, том 1, там есть задача о баллотировке в достаточно простом изложении, подумайте, как его модифицировать по нестрогое доминирование.

[geomath]

Да, Феллера я и сам посмотрел в первую очередь, которого когда-то купил. Вроде нашел нужный случай в книге С. Карлина "Основы теории сл. процессов", но не совсем уверен в этом, ибо там обобщенная формулировка. И если в строгом случае вероятность равна $(a - b)/(a + b)$, то в нестрогом случае она вроде бы равна $1 - b/a$.

[geomath]

geomath в сообщении #1500795 писал(а):

И если в строгом случае вероятность равна $(a - b)/(a + b)$, то в нестрогом случае она вроде бы равна $1 - b/a$.

Доказывать не стал, но проверил численно, на компьютере. Получилось следующее.

Возьмем тождество $p+p^* +p\cdot p^* =1$, заведомо верное для любой вероятности $0\leqslant p \leqslant1$, где преобразование $p^* =(1-p)/(1+p)$ суть сопряжение в том смысле, что $(p^* )^* =p$. И рассмотрим выборы из двух кандидатов, $A$ и $B$, в итоге набравших $a$ и $b$ голосов соответственно, причем $A$ не проиграл: $a\geqslant b$. Тогда

$p=(a-b)/(a+b)$ есть вероятность того, что $A$ все время опережал $B$ (хоть на один голос);

$p^* =b/a$ есть вероятность того, что $A$ хоть раз (хоть на один голос) отставал от $B$;

$p\cdot p^* $ есть вероятность того, что $A$ хоть раз шел вровень с $B$, а в остальное время опережал.

[marie-la]

geomath
Не знаю, актуально это или нет, но это задача на классический принцип отражения - каждая расстановка карт имеет одинаковую вероятность, поэтому задача состоит в подсчете количества расстановок, удовлетворяющих данному условию. Первая карта обязательно должна быть черной, а далее классический подсчет. Вот, например, https://cmp.phys.msu.ru/sites/default/f ... mWalks.pdf - тут про принцип отражения.

[geomath]

Спасибо, посмотрю. В этой задаче каждая сумма меняется чисто случайно, не убывает только. Сейчас обдумываю задачу, где она представляет собой случайную логистическую функцию...