2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Посчитать карточную вероятность
Сообщение12.01.2021, 15:47 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
В задачнике эта задача помечена звездочкой как трудная. Задачник старый, компьютеров тогда не было - численно, на компьютере, она решается легко. Правда, возможно, что я где-то ошибаюсь, но сходимость получается так себе. А как решить эту задачу без компьютера, да и нужно ли теперь к этому стремиться, я не знаю.

Берется колода карт, половина красных отбрасывается. Оставшиеся карты перемешиваются, а затем последовательно открываются (без возврата в колоду). Какова вероятность, что открытых черных карт всегда будет больше, чем открытых красных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение12.01.2021, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
934
Это классическая задача о баллотировке, или теорема Бертрана о выборах (см. Википедию).

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение12.01.2021, 16:42 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
Точно. Я даже припоминаю теперь, что читал что-то такое про выборы, но именно Бертрана не вспомнил. Да, трудная задача. Чтобы доказать ответ по индукции, надо знать его заранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение12.01.2021, 17:48 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
В исходной карточной задаче ответ 1/3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение13.01.2021, 14:31 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
В задаче спрашивается о строгом доминировании. Хорошо, а если оно не строгое, тогда как? Какова вероятность, что открытых черных карт всегда будет не меньше, чем открытых красных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение13.01.2021, 20:50 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
geomath в сообщении #1500452 писал(а):
Точно. Я даже припоминаю теперь, что читал что-то такое про выборы, но именно Бертрана не вспомнил.
Вот это номер! Оказывается, ветка Задача о баллотировке здесь уже есть, была в 2006 году, и автором ее был... я!! Правда, закончилась она бесславно. Откуда взялся этот esperanto, "студент-докторант", я не знаю. И чего он взъелся? В конце концов назвал меня хамом и исчез навсегда.

Вот ведь память, совершенно все забыл. Собственно, с этой задачей я и пришел на форум. Удивительно просто. Кстати говоря, весной прошлого года я переболел коронавирусом, хоть и относительно легко, как раз в разгар пандемии. Самого вируса у меня не нашли, но симптомы были очень похожие. Да, к сожалению, сказалось на моей памяти, она заметно ухудшилась. Вот и независимое подтверждение имеется.

Но главное не это, а то, что тогда своего компьютера у меня не было, теперь же он есть. И я, возможно, на тот вопрос отвечу - прямо здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение13.01.2021, 21:12 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
11044
 !  geomath
Не отвлекайтесь, иначе эта ветка закончится так же, как и та.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение13.01.2021, 21:31 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
Да, не отвлекаюсь. В исходной задаче, о баллотировке получается, доминирование одного над другим предполагается все время строгим. А вот нестрогого я что-то, посмотрел-полистал, не нашел. Какова вероятность в этом случае? (По-хорошему надо было с этого и начать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение14.01.2021, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
934
Посмотрите в Феллере, том 1, там есть задача о баллотировке в достаточно простом изложении, подумайте, как его модифицировать по нестрогое доминирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение14.01.2021, 10:39 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
Да, Феллера я и сам посмотрел в первую очередь, которого когда-то купил. Вроде нашел нужный случай в книге С. Карлина "Основы теории сл. процессов", но не совсем уверен в этом, ибо там обобщенная формулировка. И если в строгом случае вероятность равна $(a - b)/(a + b)$, то в нестрогом случае она вроде бы равна $1 - b/a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посчитать карточную вероятность
Сообщение14.01.2021, 15:42 
Аватара пользователя


15/11/06
2497
Москва Первомайская
geomath в сообщении #1500795 писал(а):
И если в строгом случае вероятность равна $(a - b)/(a + b)$, то в нестрогом случае она вроде бы равна $1 - b/a$.
Доказывать не стал, но проверил численно, на компьютере. Получилось следующее.

Возьмем тождество $p+p^* +p\cdot p^* =1$, заведомо верное для любой вероятности $0\leqslant p \leqslant1$, где преобразование $p^* =(1-p)/(1+p)$ суть сопряжение в том смысле, что $(p^* )^* =p$. И рассмотрим выборы из двух кандидатов, $A$ и $B$, в итоге набравших $a$ и $b$ голосов соответственно, причем $A$ не проиграл: $a\geqslant b$. Тогда

$p=(a-b)/(a+b)$ есть вероятность того, что $A$ все время опережал $B$ (хоть на один голос);

$p^* =b/a$ есть вероятность того, что $A$ хоть раз (хоть на один голос) отставал от $B$;

$p\cdot p^* $ есть вероятность того, что $A$ хоть раз шел вровень с $B$, а в остальное время опережал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group