Бесконечная последовательность нулей и единиц

[alisa-lebovski]

mihaild в сообщении #1500224 писал(а):

А как это формализуется?

В условиях не должна упоминаться никакая конкретная последовательность. Например, это утверждения типа УЗБЧ и ЗПЛ, т.е. о пределах (возможно, верхних или нижних) некоторых симметричных функций от $x_1,\dots x_n$. И утверждения должны быть также инвариантны относительно замены всех 0 на 1 и наоборот. И пределы должны работать по любой подпоследовательности, выбранной без учета значений.

[mihaild]

alisa-lebovski в сообщении #1500232 писал(а):

В условиях не должна упоминаться никакая конкретная последовательность.

Это не формализация же. Разве что вы хотите ограничить вид формул, которыми можно задавать условия (и это скорее всего получится что-то вроде эффективно нулевых с оракулом множеств).
К тому же мне очень хочется, чтобы последовательность, у которой все элементы с номерами вида $2^{2^n}$, начиная с некоторого, совпадают, считалась неслучайной. Это условие можно как-то записать в виде "утверждения о пределах"?

[alisa-lebovski]

mihaild в сообщении #1500250 писал(а):

К тому же мне очень хочется, чтобы последовательность, у которой все элементы с номерами вида $2^{2^n}$, начиная с некоторого, совпадают, считалась неслучайной. Это условие можно как-то записать в виде "утверждения о пределах"?

Конечно, как УЗБЧ по подпоследовательности с этими номерами.

[mihaild]

alisa-lebovski в сообщении #1500256 писал(а):

Конечно, как УЗБЧ по подпоследовательности с этими номерами

А какого вида последовательности вместо $2^{2^n}$ брать можно? Если любые, то мы опять покрываем весь отрезок.

[alisa-lebovski]

mihaild в сообщении #1500305 писал(а):

А какого вида последовательности вместо $2^{2^n}$ брать можно? Если любые, то мы опять покрываем весь отрезок.

Любые. Любая подпоследовательность случайной последовательности 0 и 1 также является случайной последовательностью 0 и 1 (если номера членов выбираются априорно, а не по значениям). Для любой подпоследовательности также верны УЗБЧ и ЗПЛ (если суммировать члены этой подпоследовательности). Как отсюда покрываем весь отрезок (не опираясь на конкретные последовательности, как в Вашем примере) пока не поняла.

[mihaild]

alisa-lebovski в сообщении #1500306 писал(а):

Как отсюда покрываем весь отрезок (не опираясь на конкретные последовательности, как в Вашем примере) пока не поняла.

Возьмем какую-нибудь последовательность $x$. Она покрывается нулевым множеством вида "последовательности, для которых не выполнен ЗБЧ для подпоследовательности с индексами $\{i | x_i = 0\}$".

[alisa-lebovski]

mihaild в сообщении #1500308 писал(а):

для подпоследовательности с индексами $\{i | x_i = 0\}$".

Третий раз повторяю: подпоследовательности должны выбираться без учета значений.

[mihaild]

alisa-lebovski в сообщении #1500315 писал(а):

Третий раз повторяю: подпоследовательности должны выбираться без учета значений

Третий раз спрашиваю: что это значит?
Чем последовательность $2^{2^n}$ хуже последовательности $\{i | x_i = 0\}$ для какого-то $x$?

[alisa-lebovski]

Подумала еще и поняла. Спасибо.

[vicvolf]

Если случайную последовательность пронумеровать и затем выбирать из нее члены с номерами, которые выбираются случайным образом, то получим, как я понимаю, случайную подпоследовательность?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1500431 писал(а):

выбирать из нее члены с номерами, которые выбираются случайным образом

Это смотря как выбирать. Если, например, каждый раз прибавлять к номеру члена случайное положительное число, не зависящее от всего предыдущего, то да, но можно придумать и способы, когда нет.

[B@R5uk]

alisa-lebovski в сообщении #1499673 писал(а):

B@R5uk в сообщении #1499665 писал(а):

Пусть у нас есть возможность получить бесконечную случайную последовательность нулей и единиц.

Нет, Вы подразумеваете, что у нас есть возможность получить бесконечно много бесконечных последовательностей нулей и единиц, только тогда имеет смысл говорить о распределении чисел. Это еще дальше от начала, чем два прогона. Речь же шла об ОДНОЙ последовательности, и можно ли ее идентифицировать как случайную, по ней самой, безотносительно к другим последовательностям и методам формирования.

Не знаю, чем вас вдруг задело моё предложение переформулировать вопрос топик-стартера, поскольку идея за этой переформулировкой заключалось в том, чтобы натолкнуть его на понимание бессмысленности его первого вопроса. На всякий случай повторю свою формулировку:

B@R5uk в сообщении #1499665 писал(а):

Пусть у нас есть возможность получить бесконечную случайную последовательность нулей и единиц. Будем считать, что это цифры после запятой двоичного представления некоторого числа на отрезке $[0,1]$. Вопрос: будут ли такие числа иметь равномерное распределение на отрезке?

Ответ на мой вопрос: да, плотность вероятности равна 1, кроме чисел вида $n/2^m$, Лебегова мера множества которых нулевая, а плотность вероятности в 2 раза больше (из-за совпадений чисел, представление которых заканчивается на одни 1 или одни 0). В процессе поиска ответа на этот вопрос, по идее должно придти понимание того, что любая рассматриваемая топик-стартером последовательность равновероятна, даже такая, в которой начиная с некоторого элемента все они становятся только нулями или только единицами. Поправьте, если не прав.

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1500956 писал(а):

Ответ на мой вопрос: да, плотность вероятности равна 1, кроме чисел вида $n/2^m$, Лебегова мера множества которых нулевая, а плотность вероятности в 2 раза больше (из-за совпадений чисел, представление которых заканчивается на одни 1 или одни 0).

Вы, видимо, не понимаете, что такое плотность вероятности. И да, вполне можно считать, что ноль в два раза больше нуля (я не про плотность, а про вероятность; плотность вероятности везде равна $1$). И не придерёшься.

[geomath]

Не всем, конечно, но кому-то пригодится. Я лично с перерывом два раза прочитал.

В. А. Успенский, Четыре алгоритмических лица случайности
http://www.mathnet.ru/links/c363f039f96fbb95d2b6c50da9518a2d/mp188.pdf

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1500435 писал(а):

vicvolf в сообщении #1500431 писал(а):

выбирать из нее члены с номерами, которые выбираются случайным образом

Это смотря как выбирать.

Положить номера в урну и выбирать наугад.