2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
mihaild в сообщении #1500224 писал(а):
А как это формализуется?
В условиях не должна упоминаться никакая конкретная последовательность. Например, это утверждения типа УЗБЧ и ЗПЛ, т.е. о пределах (возможно, верхних или нижних) некоторых симметричных функций от $x_1,\dots x_n$. И утверждения должны быть также инвариантны относительно замены всех 0 на 1 и наоборот. И пределы должны работать по любой подпоследовательности, выбранной без учета значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
alisa-lebovski в сообщении #1500232 писал(а):
В условиях не должна упоминаться никакая конкретная последовательность.
Это не формализация же. Разве что вы хотите ограничить вид формул, которыми можно задавать условия (и это скорее всего получится что-то вроде эффективно нулевых с оракулом множеств).
К тому же мне очень хочется, чтобы последовательность, у которой все элементы с номерами вида $2^{2^n}$, начиная с некоторого, совпадают, считалась неслучайной. Это условие можно как-то записать в виде "утверждения о пределах"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
mihaild в сообщении #1500250 писал(а):
К тому же мне очень хочется, чтобы последовательность, у которой все элементы с номерами вида $2^{2^n}$, начиная с некоторого, совпадают, считалась неслучайной. Это условие можно как-то записать в виде "утверждения о пределах"?
Конечно, как УЗБЧ по подпоследовательности с этими номерами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
alisa-lebovski в сообщении #1500256 писал(а):
Конечно, как УЗБЧ по подпоследовательности с этими номерами
А какого вида последовательности вместо $2^{2^n}$ брать можно? Если любые, то мы опять покрываем весь отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
mihaild в сообщении #1500305 писал(а):
А какого вида последовательности вместо $2^{2^n}$ брать можно? Если любые, то мы опять покрываем весь отрезок.
Любые. Любая подпоследовательность случайной последовательности 0 и 1 также является случайной последовательностью 0 и 1 (если номера членов выбираются априорно, а не по значениям). Для любой подпоследовательности также верны УЗБЧ и ЗПЛ (если суммировать члены этой подпоследовательности). Как отсюда покрываем весь отрезок (не опираясь на конкретные последовательности, как в Вашем примере) пока не поняла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
alisa-lebovski в сообщении #1500306 писал(а):
Как отсюда покрываем весь отрезок (не опираясь на конкретные последовательности, как в Вашем примере) пока не поняла.
Возьмем какую-нибудь последовательность $x$. Она покрывается нулевым множеством вида "последовательности, для которых не выполнен ЗБЧ для подпоследовательности с индексами $\{i | x_i = 0\}$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
mihaild в сообщении #1500308 писал(а):
для подпоследовательности с индексами $\{i | x_i = 0\}$".
Третий раз повторяю: подпоследовательности должны выбираться без учета значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение11.01.2021, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
alisa-lebovski в сообщении #1500315 писал(а):
Третий раз повторяю: подпоследовательности должны выбираться без учета значений
Третий раз спрашиваю: что это значит?
Чем последовательность $2^{2^n}$ хуже последовательности $\{i | x_i = 0\}$ для какого-то $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение12.01.2021, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Подумала еще и поняла. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение12.01.2021, 13:56 


23/02/12
3110
Если случайную последовательность пронумеровать и затем выбирать из нее члены с номерами, которые выбираются случайным образом, то получим, как я понимаю, случайную подпоследовательность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение12.01.2021, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
vicvolf в сообщении #1500431 писал(а):
выбирать из нее члены с номерами, которые выбираются случайным образом
Это смотря как выбирать. Если, например, каждый раз прибавлять к номеру члена случайное положительное число, не зависящее от всего предыдущего, то да, но можно придумать и способы, когда нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение14.01.2021, 23:28 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
alisa-lebovski в сообщении #1499673 писал(а):
B@R5uk в сообщении #1499665 писал(а):
Пусть у нас есть возможность получить бесконечную случайную последовательность нулей и единиц.
Нет, Вы подразумеваете, что у нас есть возможность получить бесконечно много бесконечных последовательностей нулей и единиц, только тогда имеет смысл говорить о распределении чисел. Это еще дальше от начала, чем два прогона. Речь же шла об ОДНОЙ последовательности, и можно ли ее идентифицировать как случайную, по ней самой, безотносительно к другим последовательностям и методам формирования.
Не знаю, чем вас вдруг задело моё предложение переформулировать вопрос топик-стартера, поскольку идея за этой переформулировкой заключалось в том, чтобы натолкнуть его на понимание бессмысленности его первого вопроса. На всякий случай повторю свою формулировку:
B@R5uk в сообщении #1499665 писал(а):
Пусть у нас есть возможность получить бесконечную случайную последовательность нулей и единиц. Будем считать, что это цифры после запятой двоичного представления некоторого числа на отрезке $[0,1]$. Вопрос: будут ли такие числа иметь равномерное распределение на отрезке?
Ответ на мой вопрос: да, плотность вероятности равна 1, кроме чисел вида $n/2^m$, Лебегова мера множества которых нулевая, а плотность вероятности в 2 раза больше (из-за совпадений чисел, представление которых заканчивается на одни 1 или одни 0). В процессе поиска ответа на этот вопрос, по идее должно придти понимание того, что любая рассматриваемая топик-стартером последовательность равновероятна, даже такая, в которой начиная с некоторого элемента все они становятся только нулями или только единицами. Поправьте, если не прав.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение14.01.2021, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
B@R5uk в сообщении #1500956 писал(а):
Ответ на мой вопрос: да, плотность вероятности равна 1, кроме чисел вида $n/2^m$, Лебегова мера множества которых нулевая, а плотность вероятности в 2 раза больше (из-за совпадений чисел, представление которых заканчивается на одни 1 или одни 0).
Вы, видимо, не понимаете, что такое плотность вероятности. И да, вполне можно считать, что ноль в два раза больше нуля (я не про плотность, а про вероятность; плотность вероятности везде равна $1$). И не придерёшься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение15.01.2021, 09:03 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Не всем, конечно, но кому-то пригодится. Я лично с перерывом два раза прочитал.

В. А. Успенский, Четыре алгоритмических лица случайности
http://www.mathnet.ru/links/c363f039f96fbb95d2b6c50da9518a2d/mp188.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечная последовательность нулей и единиц
Сообщение15.01.2021, 11:18 


23/02/12
3110
alisa-lebovski в сообщении #1500435 писал(а):
vicvolf в сообщении #1500431 писал(а):
выбирать из нее члены с номерами, которые выбираются случайным образом
Это смотря как выбирать.
Положить номера в урну и выбирать наугад.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group