2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение12.09.2020, 19:36 


12/09/20
22
Здравствуйте, уважаемые пользователи форума. Прошу совета и помощи.

Существует нелинейная система следующего типа:

Изображение

Мне нужно аналитически проанализировать переходные процесс в такой системе.
Под аналитическим исследованием переходного процесса понимается решение x(t) дифференциального уравнения для такой системы и его анализ, то есть:
1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t).
2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов.
3. Оценка амплитуды колебательных составляющих.

Ситуация осложняется следующими обстоятельствами:

1. Наличие линейных динамических звеньев в системе, что подразумевает использование приемов из линейной ТАУ. В то же время наличие квадратичного блока $f(u)=-u^2$ делает это невозможным. Вместо $f(u)=-u^2$ могут быть также $\exp(-u^2)$, $\frac{1}{u^2+1}$, $sech(u)^2$. Это не коэффициенты усиления, это нелинейные функции, отображающие вход в выход по выбранной формуле.

2. Наличие квадратичного блока $f(u)=-u^2$ вынуждает рассмотреть вариант написания соответствующего дифференциального уравнения для системы. В то же время наличие в системе линейных динамических звеньев обсулавливает наличие операторов свертки в дифференциальном уравнении, которое превращает дифференциальное уравнение в интегро-дифференциальное уравнение сложной структуры, методов решения которого в общем виде не существует.

Проблема:
Необходимо выбрать путь аналитического расчета переходных процессов в нелинейной системе с линейными динамическими связями.

Вероятное решение:
Написать систему диффуров и использовать либо упрощённые методики (какие? я плохо знаком с нелинейной ТАУ), либо инструменты анализа нелинейных пространств состояний и какие-либо другие, более продвинутые методы.

Если будет интересно, я напишу, откуда возникла эта задача. Но мне нужно выбрать хотя бы какой-то путь её решения, я в тупике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение14.09.2020, 13:28 
Аватара пользователя


30/04/19
197
ТАУ очень интересная наука, которую я к сожалению давно забыл, ибо пользоваться не приходилось. А разве вместо этого звена с квадратичной функцией нельзя подобрать изображение по Лапласу и подставить его? Тогда получите обычную схему САУ, которую можно исследовать любыми известными из ТАУ способами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение15.09.2020, 08:30 


12/09/20
22
В том то и дело...
Если бы всё было так просто, то задача уже давным-давно разрешилась бы. Преобразование Лапласа не всегда над простыми временнЫми зависимостями можно сделать. А тут нелинейное отображение... На Ваш вопрос можно ответить утвердительно, если речь идёт о рядах Вольтерры. Но там свои тонкости, работа с многомерными передаточными функциями, нужно выбирать импульсную характеристику, да и сколько слагаемых ряда Вольтерры понадобится...В общем, в вычислительном плане задача тоже непростая.

 Профиль  
                  
 
 Экспоненциальный переходный процесс в градиентном диффуре
Сообщение10.01.2021, 12:00 


12/09/20
22
С одной стороны, вопрос простой, с другой, мне нужна помощь специалистов по математике.

Возьмем простую градиентную динамическую систему:

$ \frac {dx} {dt} = \frac {df} {dx} $

где $f = e^{-(x-x_*)^2}$ и $x_*$ - константа, определяющая положение максимума.

Процесс перехода в такой системе - это переход из состояния $ x(0) $ в состояние $ x_* $.

Мы предполагаем, что заранее не знаем значение $x_*$, а также саму функцию $f$. Как сделать так, чтобы переходные процессы в такой системе всегда происходили экспоненциально?

Мы можем делать что угодно: добавлять управляющие сигналы или добавлять вспомогательные переменные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальный переходный процесс в градиентном диффуре
Сообщение10.01.2021, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
dtn888 в сообщении #1500034 писал(а):
в такой системе
В какой системе? Вы же её не задали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальный переходный процесс в градиентном диффуре
Сообщение11.01.2021, 07:33 


12/09/20
22
Утундрий в сообщении #1500152 писал(а):
dtn888 в сообщении #1500034 писал(а):
в такой системе
В какой системе? Вы же её не задали.

Опечатка. У меня в голове выстроилась такая картинка, что градиентный диффур превратиться в итоге в систему дифференциальных уравнений. Поэтому я и использовал слово система.

Ещё раз возьмём градиетное уравнение:

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}$

А по ссылке представлено его решение:

[url]https://www.wolframalpha.com/input/?i=x'%3DD(exp(-(x-1)^2)%2Cx)%2Cx(0)%3D-1[/url]

Нужно сделать так, чтобы решением данного градиентного уравнения всегда был переход из одного состояния в другое по экспоненте. Замечу ещё раз, что точка экстремума заранее неизвестна и его поиск как раз и является функцией данного градиентного уравнения.

У меня есть ощущение, что нужно включить дополнительный управляющий сигнал, т.е. уравнение должно выглядеть следующим образом:

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u$

А вот как его формировать - непонятно. Какой-то критерий экспоненциальности должен учитываться, верно ? Т.е. нужно как-то связать $x$ , $x'$ , может быть даже $x''$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение11.01.2021, 12:30 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22580
Кронштадт
 i  Две темы объединены, нет смысла разделять одно обсуждение на две части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение11.01.2021, 14:09 


27/08/16
7550
С переходными процессами в нелинейныйх системах всё может быть сложно, так как в нелинейных системах даже с диссипацией не обязательно существует ровно одно предельное устойчивое состояние равновесия. Так же становятся плохо определёнными понятия "компоненты" и "составляющие". То есть, в общем виде можно перейти во временную область и анализировать полученную систему дифференциальных уравнений на предмет устойчивых и неустойчивых состояний равновесия, линеаризуя систему возле них и интегрируя интересные случаи численно. При этом, если фазовая траектория системы будет проходить возле состояния неустойчивого равновесия, то возможно возникновение метастабильности, когда переходный процесс может длиться сколь угодно долго. А в случае присутствия именно неограниченной квадратичной нелинейности предположу, что у вас будут и расходящиеся решения.

В частотной области, когда входной сигнал периодический и нужно найти периодический выходной сигнал, такие системы решают численно методом гармонического балланса. Правда, и там решение может оказаться не единственным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение11.01.2021, 14:22 


12/09/20
22
Здесь единственный интересный на данный момент случай - это переход из начальной точки $x(0)$ в точку экстремума $x_*$ и качество этого переходного процесса.

Давайте перепишем градиентное уравнение в виде:

$\frac{dx}{dt} - \frac{df}{dx}=0$

В качестве примера функции $f$ давайте выберем $f=e^{-(x-1)^2}$

Следовательно:

$\frac{dx}{dt} - (-2(x-1) \cdot e^{-(x-1)^2})=0$

Попробуйте решить численно это уравнение, например в Mathematica, и увидите, какой тут переходный процесс.

Я могу привести код, если нужно.

Повторюсь, тут речь идёт не об устойчивости, а о качестве переходных процессов. Предлагаемые вами инструменты и методология в целом корректны в рамках теории нелинейных динамических систем, но те в качественных вопросах теории управления и переходных процессов. Возможно, я что-то упускаю из вида.

Тут надо придумать, как ввести либо дополнительную переменную, либо входной сигнал, чтобы скорректировать переходный процесс и наделить его нужными свойствами. Сложность в том, что точка равновесия нам "как бы" заранее неизвестна, поэтому переходный процесс должен корректироваться без опоры на предыдущее и будущее состояние.

Вот, что должно получаться. Синее - то, что есть. Оранжевое - то, что должно быть.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение11.01.2021, 14:49 


27/08/16
7550
dtn888 в сообщении #1500251 писал(а):
Вот, что должно получаться.
Вы анализируете или проектируете? Если проектируете - так компенсируйте нелинейность обратным нелинейным преобразованием, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение11.01.2021, 20:15 


12/09/20
22
realeugene в сообщении #1500260 писал(а):
dtn888 в сообщении #1500251 писал(а):
Вот, что должно получаться.
Вы анализируете или проектируете? Если проектируете - так компенсируйте нелинейность обратным нелинейным преобразованием, например.


Я анализирую.

Компенсацию нелинейности делать нельзя.

Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны.

Уравнение описывает поиск положения экстремума, и этот переходный процесс должен происходить по экспоненте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение11.01.2021, 20:45 


27/08/16
7550
dtn888 в сообщении #1500333 писал(а):
Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны.

В общем случае задача аналитического решения не имеет, насколько мне известно. Нелинейности бывают самыми хитрыми. Сумма комплексных экспонент - это общее решение для линейных систем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение11.01.2021, 23:21 


12/09/20
22
realeugene в сообщении #1500346 писал(а):
dtn888 в сообщении #1500333 писал(а):
Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны.

В общем случае задача аналитического решения не имеет, насколько мне известно. Нелинейности бывают самыми хитрыми. Сумма комплексных экспонент - это общее решение для линейных систем.


Не критично. Это всего лишь означает, что нужно придумать адативное управление, вот и всё.

У меня была идея связать вторую производную с первой, чтобы получить экспоненциальный переходный процесс:

$x{''}+x^{'}=0$

Но для этого, к сожалению, нужно знать точное значений второй производной...

Надеюсь, задача стала понятна. Есть ещё какие-то идеи ?

 Профиль  
                  
 
 Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение17.01.2021, 09:10 


12/09/20
22
Недавно я столкнулся со следующей проблемой оптимального управления.

У нас есть дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП) градиентого типа:

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u$

гду $f=\frac{1}{(x-x_*)^2+1}$, и $x_*$ - константа, при которой достигается максимум функции.

Целью данной "системы" является поиск $x$ при котором достигается максимум функции $f$. $x_*$ заранее неизвестно.

Проблема: Выбрать функцию стоимости $J$ (или критерий экспоненциальности) такой, что переходный процесс из $x(0)$ в $x_*$ происходил по экспоненте, критерий для этого неизвестен, т.е.:

$J = f(x,x^{'}...x^{''},u) =?$

Я новичок в оптимальном управлении. Кажется, я не могу понять, как найти подход к этой проблеме, поэтому любая помощь приветствуется. Как выбрать функцию стоимости $J$? Как сгенерировать входной сигнал управления $u$? Есть ли аналитическое решение?

Если задача тривиальная/неразрешимая/плохо сформулированная и т.д - не игнорируйте, выскажите всё как есть.

Благодарю всех за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
Сообщение17.01.2021, 12:30 


12/09/20
22
Уважаемые специалисты, а может принцип максимума Понтрягина здесь сможет помочь?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group