Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа

[dtn888]

Здравствуйте, уважаемые пользователи форума. Прошу совета и помощи.

Существует нелинейная система следующего типа:



Мне нужно аналитически проанализировать переходные процесс в такой системе.
Под аналитическим исследованием переходного процесса понимается решение x(t) дифференциального уравнения для такой системы и его анализ, то есть:
1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t).
2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов.
3. Оценка амплитуды колебательных составляющих.

Ситуация осложняется следующими обстоятельствами:

1. Наличие линейных динамических звеньев в системе, что подразумевает использование приемов из линейной ТАУ. В то же время наличие квадратичного блока $f(u)=-u^2$ делает это невозможным. Вместо $f(u)=-u^2$ могут быть также $\exp(-u^2)$, $\frac{1}{u^2+1}$, $sech(u)^2$. Это не коэффициенты усиления, это нелинейные функции, отображающие вход в выход по выбранной формуле.

2. Наличие квадратичного блока $f(u)=-u^2$ вынуждает рассмотреть вариант написания соответствующего дифференциального уравнения для системы. В то же время наличие в системе линейных динамических звеньев обсулавливает наличие операторов свертки в дифференциальном уравнении, которое превращает дифференциальное уравнение в интегро-дифференциальное уравнение сложной структуры, методов решения которого в общем виде не существует.

Проблема:
Необходимо выбрать путь аналитического расчета переходных процессов в нелинейной системе с линейными динамическими связями.

Вероятное решение:
Написать систему диффуров и использовать либо упрощённые методики (какие? я плохо знаком с нелинейной ТАУ), либо инструменты анализа нелинейных пространств состояний и какие-либо другие, более продвинутые методы.

Если будет интересно, я напишу, откуда возникла эта задача. Но мне нужно выбрать хотя бы какой-то путь её решения, я в тупике.

[Snegovik]

ТАУ очень интересная наука, которую я к сожалению давно забыл, ибо пользоваться не приходилось. А разве вместо этого звена с квадратичной функцией нельзя подобрать изображение по Лапласу и подставить его? Тогда получите обычную схему САУ, которую можно исследовать любыми известными из ТАУ способами.

[dtn888]

В том то и дело...
Если бы всё было так просто, то задача уже давным-давно разрешилась бы. Преобразование Лапласа не всегда над простыми временнЫми зависимостями можно сделать. А тут нелинейное отображение... На Ваш вопрос можно ответить утвердительно, если речь идёт о рядах Вольтерры. Но там свои тонкости, работа с многомерными передаточными функциями, нужно выбирать импульсную характеристику, да и сколько слагаемых ряда Вольтерры понадобится...В общем, в вычислительном плане задача тоже непростая.

[dtn888]

С одной стороны, вопрос простой, с другой, мне нужна помощь специалистов по математике.

Возьмем простую градиентную динамическую систему:

$ \frac {dx} {dt} = \frac {df} {dx} $

где $f = e^{-(x-x_*)^2}$ и $x_*$ - константа, определяющая положение максимума.

Процесс перехода в такой системе - это переход из состояния $ x(0) $ в состояние $ x_* $.

Мы предполагаем, что заранее не знаем значение $x_*$, а также саму функцию $f$. Как сделать так, чтобы переходные процессы в такой системе всегда происходили экспоненциально?

Мы можем делать что угодно: добавлять управляющие сигналы или добавлять вспомогательные переменные.

[Утундрий]

dtn888 в сообщении #1500034 писал(а):

в такой системе

В какой системе? Вы же её не задали.

[dtn888]

Утундрий в сообщении #1500152 писал(а):

dtn888 в сообщении #1500034 писал(а):

в такой системе

В какой системе? Вы же её не задали.

Опечатка. У меня в голове выстроилась такая картинка, что градиентный диффур превратиться в итоге в систему дифференциальных уравнений. Поэтому я и использовал слово система.

Ещё раз возьмём градиетное уравнение:

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}$

А по ссылке представлено его решение:

[url]https://www.wolframalpha.com/input/?i=x'%3DD(exp(-(x-1)^2)%2Cx)%2Cx(0)%3D-1[/url]

Нужно сделать так, чтобы решением данного градиентного уравнения всегда был переход из одного состояния в другое по экспоненте. Замечу ещё раз, что точка экстремума заранее неизвестна и его поиск как раз и является функцией данного градиентного уравнения.

У меня есть ощущение, что нужно включить дополнительный управляющий сигнал, т.е. уравнение должно выглядеть следующим образом:

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u$

А вот как его формировать - непонятно. Какой-то критерий экспоненциальности должен учитываться, верно ? Т.е. нужно как-то связать $x$ , $x'$ , может быть даже $x''$ и т.д.

[Pphantom]

Две темы объединены, нет смысла разделять одно обсуждение на две части.

[realeugene]

С переходными процессами в нелинейныйх системах всё может быть сложно, так как в нелинейных системах даже с диссипацией не обязательно существует ровно одно предельное устойчивое состояние равновесия. Так же становятся плохо определёнными понятия "компоненты" и "составляющие". То есть, в общем виде можно перейти во временную область и анализировать полученную систему дифференциальных уравнений на предмет устойчивых и неустойчивых состояний равновесия, линеаризуя систему возле них и интегрируя интересные случаи численно. При этом, если фазовая траектория системы будет проходить возле состояния неустойчивого равновесия, то возможно возникновение метастабильности, когда переходный процесс может длиться сколь угодно долго. А в случае присутствия именно неограниченной квадратичной нелинейности предположу, что у вас будут и расходящиеся решения.

В частотной области, когда входной сигнал периодический и нужно найти периодический выходной сигнал, такие системы решают численно методом гармонического балланса. Правда, и там решение может оказаться не единственным.

[dtn888]

Здесь единственный интересный на данный момент случай - это переход из начальной точки $x(0)$ в точку экстремума $x_*$ и качество этого переходного процесса.

Давайте перепишем градиентное уравнение в виде:

$\frac{dx}{dt} - \frac{df}{dx}=0$

В качестве примера функции $f$ давайте выберем $f=e^{-(x-1)^2}$

Следовательно:

$\frac{dx}{dt} - (-2(x-1) \cdot e^{-(x-1)^2})=0$

Попробуйте решить численно это уравнение, например в Mathematica, и увидите, какой тут переходный процесс.

Я могу привести код, если нужно.

Повторюсь, тут речь идёт не об устойчивости, а о качестве переходных процессов. Предлагаемые вами инструменты и методология в целом корректны в рамках теории нелинейных динамических систем, но те в качественных вопросах теории управления и переходных процессов. Возможно, я что-то упускаю из вида.

Тут надо придумать, как ввести либо дополнительную переменную, либо входной сигнал, чтобы скорректировать переходный процесс и наделить его нужными свойствами. Сложность в том, что точка равновесия нам "как бы" заранее неизвестна, поэтому переходный процесс должен корректироваться без опоры на предыдущее и будущее состояние.

Вот, что должно получаться. Синее - то, что есть. Оранжевое - то, что должно быть.

[realeugene]

dtn888 в сообщении #1500251 писал(а):

Вот, что должно получаться.

Вы анализируете или проектируете? Если проектируете - так компенсируйте нелинейность обратным нелинейным преобразованием, например.

[dtn888]

realeugene в сообщении #1500260 писал(а):

dtn888 в сообщении #1500251 писал(а):

Вот, что должно получаться.

Вы анализируете или проектируете? Если проектируете - так компенсируйте нелинейность обратным нелинейным преобразованием, например.

Я анализирую.

Компенсацию нелинейности делать нельзя.

Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны.

Уравнение описывает поиск положения экстремума, и этот переходный процесс должен происходить по экспоненте.

[realeugene]

dtn888 в сообщении #1500333 писал(а):

Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны.

В общем случае задача аналитического решения не имеет, насколько мне известно. Нелинейности бывают самыми хитрыми. Сумма комплексных экспонент - это общее решение для линейных систем.

[dtn888]

realeugene в сообщении #1500346 писал(а):

dtn888 в сообщении #1500333 писал(а):

Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны.

В общем случае задача аналитического решения не имеет, насколько мне известно. Нелинейности бывают самыми хитрыми. Сумма комплексных экспонент - это общее решение для линейных систем.

Не критично. Это всего лишь означает, что нужно придумать адативное управление, вот и всё.

У меня была идея связать вторую производную с первой, чтобы получить экспоненциальный переходный процесс:

$x{''}+x^{'}=0$

Но для этого, к сожалению, нужно знать точное значений второй производной...

Надеюсь, задача стала понятна. Есть ещё какие-то идеи ?

[dtn888]

Недавно я столкнулся со следующей проблемой оптимального управления.

У нас есть дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП) градиентого типа:

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u$

гду $f=\frac{1}{(x-x_*)^2+1}$, и $x_*$ - константа, при которой достигается максимум функции.

Целью данной "системы" является поиск $x$ при котором достигается максимум функции $f$. $x_*$ заранее неизвестно.

Проблема: Выбрать функцию стоимости $J$ (или критерий экспоненциальности) такой, что переходный процесс из $x(0)$ в $x_*$ происходил по экспоненте, критерий для этого неизвестен, т.е.:

$J = f(x,x^{'}...x^{''},u) =?$

Я новичок в оптимальном управлении. Кажется, я не могу понять, как найти подход к этой проблеме, поэтому любая помощь приветствуется. Как выбрать функцию стоимости $J$? Как сгенерировать входной сигнал управления $u$? Есть ли аналитическое решение?

Если задача тривиальная/неразрешимая/плохо сформулированная и т.д - не игнорируйте, выскажите всё как есть.

Благодарю всех за помощь.

[dtn888]

Уважаемые специалисты, а может принцип максимума Понтрягина здесь сможет помочь?