Предел среднего

[vicvolf]

Имеем $\overline{ \Delta(n)^2}=\sum_{k=0}^{\infty}d_k k^{2}$, где $d_k\sim \frac{1}{2^{k+1}}\prod_{p=3}^{\infty}\frac{(p-1)^2}{p(p-2)}$ для $k\to\infty$. А как получается:

lel0lel в сообщении #1493745 писал(а):

$\overline{ \Delta(n)^2}=\sum\frac{p^2+p-1}{p^2(p-1)^2}+\left(\sum\frac{1}{p(p-1)}\right)^2$

через дифференцирование производящей функции? Можно подробнее-туплю.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1494767 писал(а):

возможно, чтобы мат. ожидание было конечно и даже равно нулю, а дисперсия не ограничена. Могу привести примеры.

Приведу пример случайной величины, у которой среднее значение и моменты всех порядков (кроме дисперсии) конечны и дисперсия нет.

В качестве $X_p$ рассмотрим случайную величину, принимающее значение $X_p=1/\sqrt {2p}$ с вероятностью $P(X_p=1/\sqrt {2p})=1/2$, где $p$ - произвольное простое число, и значение $X_p=-1/\sqrt {2p}$ с вероятностью $P(X_p=-1/\sqrt {2p})=1/2$.

Тогда среднее значение $E[X_p]=0$, а дисперсия $D[X_p]=E[X_p^2]=1/2(\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p})=\frac{1}{2p}$.

Возьмем в качестве случайной величины $S_n=\sum_{p \leq n} {X_p}$, где все $X_p$ независимы.

Тогда среднее значение $E[S,n]=0$, а дисперсия $D[S,n]=\sum_{p \leq n} {\frac{1}{2p}}=0,5\ln\ln(n)+O(1)$.


Определим асимптотики центральных моментов более высоких порядков.

Сначала определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $X_p$:

$E[(X_p)^k]=1/2((\frac {1}{\sqrt{2p}})^k+(-\frac {1}{\sqrt{2p}})^k)$.

При нечетном $k$ значение $E[(X_p)^k]=0$, а при четном $k$ значение $E[(X_p)^k]=(1/2p)^{k/2}$.

Теперь определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $S_n$.

При нечетном $k$ значение $E[(S_n)^k]=0$, а при четном $k$ значение $E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)^{k/2}}$. При $k=2$ - $D[S,n]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)}=0,5\ln\ln(n)+O(1)$.
При $k>2$ - $E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)^{k/2}}=O(1)$, так как при $k>2$ ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {(1/2p)^{k/2}}$ - сходится.

[alisa-lebovski]

Производящая функция

$$\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m} x^{\Delta(n)}=\sum_{k=1}^\infty d_k x^k= \prod_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{p-x}\right)$$

существует при любых $|x|<2$. С помощью ее дифференцирования при $x=1$ можно получить моменты.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1494885 писал(а):

Производящая функция

$$\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m} x^{\Delta(n)}=\sum_{k=1}^\infty d_k x^k= \prod_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{p-x}\right)$$

существует при любых $|x|<2$. С помощью ее дифференцирования при $x=1$ можно получить моменты.

Спасибо. Здесь интересно, как говорилось, нахождение производной произведения второй скобки по $x$:

$$E[\Delta]=(\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{p-x}\right))'=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)(\prod_{p}\left(1+\frac{1}{p-x}\right))'$$

[lel0lel]

$$\frac {d}{dx}\prod\limits_i u_i(x)=\sum\limits_j \frac{u_j'(x)}{u_j(x)}\prod\limits_i u_i(x).$$

[vicvolf]

lel0lel Спасибо!

[vicvolf]

В книге Кубилюс "Вероятностные методы теории чисел" на стр. 104 встретил интересную теорему 4.7, обобщую сказанное выше и доказательство частного случая, который здесь рассматривался.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1494885 писал(а):

Производящая функция

$$\lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m} x^{\Delta(n)}=\sum_{k=1}^\infty d_k x^k= \prod_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{p-x}\right)$$

существует при любых $|x|<2$. С помощью ее дифференцирования при $x=1$ можно получить моменты.

Утверждение о предельном распределении арифметической функции $\Omega(m)-\omeģa(m)$ можно обобщить. Предельное распределение любой действительной аддитивной арифметической функции, принмающей значение 0 на последовательности простых чисел, совпадает с предельным распределением арифметической функкции $\Omega(m)-\omega(m)$.
Это утверждение является следствием более общего утверждения. Действительные аддитивные функции, принимающие одинаковые значения на последовательности простых чисел, имеют одинаковое предельное распределение.

[Lia]

vicvolf
Просьба свернуть эту тематику туда, откуда ей лучше не выходить. Не надо пытаться продолжать любимую тему во всех подвернувшихся, тем более, фактически дублируя сообщения.

[vicvolf]

В своей теме я обсуждал только асимптотику моментов нормальных предельных распределений арифметических функций. В этой теме рассматривается дискретное предельное распределение с конечными моментами.