e и pi, без калькуятора

[wrest]

Доказать неравенство
$e^\pi-\pi<20$

[worm2]

Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.
О! Калькуятор использовать нельзя, а вот калькуЛятор можно!

[wrest]

worm2 в сообщении #1498271 писал(а):

Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.

Не, просто у меня красивого решения нет, а в олимпиадные без решения нельзя

[Padawan]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1498274 писал(а):

а в олимпиадные без решения нельзя

Это где-то зафиксировано в правилах форума?

[wrest]

Padawan
Ну лично мне это кажется скорее головоломкой. Потому что вряд ли тут будет какая-то продуктивная идея кроме Тейлора, как почти во всех подобных. Но мало ли...
Тут на стороне подсказывают что надо глянуть на логарифм $20$, который подозрительно похож на $3$, но все-таки тройка чуть больше. Это, правда, тоже видимо через ряд.

[Osmiy]

$e^\pi$ - это постоянная Гельфонда
$23,1406926328...-3,14159265359...=19,9990999792...<20$
Калькуятором не пользовался

[geomath]

Osmiy в сообщении #1498367 писал(а):

$e^\pi$ - это постоянная Гельфонда
$23,1406926328...-3,14159265359...=19,9990999792...<20$
Калькуятором не пользовался

Некорректно малость записано. Если уж ставить многоточие, то округлять цифру перед ним не следует. Скорее обрывать нужно в подходящем месте...

-- Ср дек 30, 2020 19:38:19 --

Не знаю, зачем значение этой разности записано в свойства постоянной Гельфонда в Википедии?

[Aritaborian]

geomath в сообщении #1498370 писал(а):

Не знаю, зачем значение этой разности записано в свойства постоянной Гельфонда в Википедии?

Потому что оно "почти целое", а это любопытный факт.

[geomath]

Aritaborian в сообщении #1498401 писал(а):

Потому что оно "почти целое", а это любопытный факт.

Вон оно что...

(Оффтоп)

- Вовка! Почему по биологии двойка?
- Учительница спросила, у кого самые большие яйца. Я ответил, что у слона.
- Ну правильно.
- А она сказала, что у страуса.
- Вон оно что... То-то он такие медленные вальсы сочинял.

[novichok2018]

По поводу. Решим уравнение

$$ e^{x} - x=20. $$

Решение $x_0$ выражается через функцию Ламберта, вторую ветвь

$$ x_0=-ProductLog[-1, -E^-20.] - 20 \approx 3,1416... $$

Так как функция $f(x)=e^{x} - x$ монотонно возрастает, то если взять чуть меньше 3,1415...
то равенство заменится на <. Понятно , это не доказательство, без претензий.
Хочу напомнить старую задачу, похожую:

$$ e^{\pi}< {\pi}^e, $$

и предложить ещё одну по образцу исходной

$$ e^{\pi}-0,7 < {\pi}^e. $$

[wrest]

novichok2018 в сообщении #1499018 писал(а):

Хочу напомнить старую задачу, похожую:

$$ e^{\pi}< {\pi}^e, $$

Это неверное неравенство, ибо $\forall x>0, e^x \ge x^e $ (докажите )

[novichok2018]

Да, конечно, нужно поменять знак, ошибся.
Это достаточно несложная задача на производную.

[wrest]

novichok2018 в сообщении #1499037 писал(а):

Это достаточно несложная задача на производную.

Я тоже думал что несложная, но почему-то на неё потратилось много времени у меня (озаботился в школе ещё, решил на 1 курсе).

[PETIKANTROP]

worm2 в сообщении #1498271 писал(а):

Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.

Ой! Какой занятный ребусик! Вывожу помадой по стеклу:
e in pi - pi = ein (1)
1<20

[arseniiv]

Но увы по-английски возводят не in степень, а to.