2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 18:16 


05/09/16
9452
Доказать неравенство
$e^\pi-\pi<20$

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2868
Уфа
Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.
О! Калькуятор использовать нельзя, а вот калькуЛятор можно! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:48 


05/09/16
9452
worm2 в сообщении #1498271 писал(а):
Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.

Не, просто у меня красивого решения нет, а в олимпиадные без решения нельзя :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:54 
Заслуженный участник


13/12/05
4205

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1498274 писал(а):
а в олимпиадные без решения нельзя

Это где-то зафиксировано в правилах форума?

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:57 


05/09/16
9452
Padawan
Ну лично мне это кажется скорее головоломкой. Потому что вряд ли тут будет какая-то продуктивная идея кроме Тейлора, как почти во всех подобных. Но мало ли...
Тут на стороне подсказывают что надо глянуть на логарифм $20$, который подозрительно похож на $3$, но все-таки тройка чуть больше. Это, правда, тоже видимо через ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение30.12.2020, 18:11 


01/03/13
1842
$e^\pi$ - это постоянная Гельфонда
$23,1406926328...-3,14159265359...=19,9990999792...<20$
Калькуятором не пользовался :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение30.12.2020, 18:34 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Osmiy в сообщении #1498367 писал(а):
$e^\pi$ - это постоянная Гельфонда
$23,1406926328...-3,14159265359...=19,9990999792...<20$
Калькуятором не пользовался :mrgreen:
Некорректно малость записано. Если уж ставить многоточие, то округлять цифру перед ним не следует. Скорее обрывать нужно в подходящем месте...

-- Ср дек 30, 2020 19:38:19 --

Не знаю, зачем значение этой разности записано в свойства постоянной Гельфонда в Википедии?

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение31.12.2020, 01:13 
Аватара пользователя


11/06/12
9910
лучший.магия.интрига
geomath в сообщении #1498370 писал(а):
Не знаю, зачем значение этой разности записано в свойства постоянной Гельфонда в Википедии?
Потому что оно "почти целое", а это любопытный факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение31.12.2020, 07:59 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Aritaborian в сообщении #1498401 писал(а):
Потому что оно "почти целое", а это любопытный факт.
Вон оно что...

(Оффтоп)

- Вовка! Почему по биологии двойка?
- Учительница спросила, у кого самые большие яйца. Я ответил, что у слона.
- Ну правильно.
- А она сказала, что у страуса.
- Вон оно что... То-то он такие медленные вальсы сочинял.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 11:31 


16/04/18
868
По поводу. Решим уравнение
$$
e^{x} - x=20.
$$
Решение $x_0$ выражается через функцию Ламберта, вторую ветвь
$$
x_0=-ProductLog[-1, -E^-20.] - 20 \approx 3,1416...
$$
Так как функция $f(x)=e^{x} - x$ монотонно возрастает, то если взять чуть меньше 3,1415...
то равенство заменится на <. Понятно , это не доказательство, без претензий.
Хочу напомнить старую задачу, похожую:
$$
e^{\pi}< {\pi}^e,
$$
и предложить ещё одну по образцу исходной
$$
e^{\pi}-0,7 < {\pi}^e.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 12:58 


05/09/16
9452
novichok2018 в сообщении #1499018 писал(а):
Хочу напомнить старую задачу, похожую:
$$
e^{\pi}< {\pi}^e,
$$

Это неверное неравенство, ибо $\forall x>0, e^x \ge x^e $ (докажите :mrgreen: )

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 13:01 


16/04/18
868
Да, конечно, нужно поменять знак, ошибся.
Это достаточно несложная задача на производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 13:58 


05/09/16
9452
novichok2018 в сообщении #1499037 писал(а):
Это достаточно несложная задача на производную.

Я тоже думал что несложная, но почему-то на неё потратилось много времени у меня (озаботился в школе ещё, решил на 1 курсе).

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 14:26 
Аватара пользователя


15/04/15
1243
worm2 в сообщении #1498271 писал(а):
Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.

Ой! Какой занятный ребусик! Вывожу помадой по стеклу:
e in pi - pi = ein (1)
1<20

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 14:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Но увы по-английски возводят не in степень, а to. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group