2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 18:16 


05/09/16
12128
Доказать неравенство
$e^\pi-\pi<20$

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.
О! Калькуятор использовать нельзя, а вот калькуЛятор можно! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:48 


05/09/16
12128
worm2 в сообщении #1498271 писал(а):
Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.

Не, просто у меня красивого решения нет, а в олимпиадные без решения нельзя :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:54 
Заслуженный участник


13/12/05
4621

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1498274 писал(а):
а в олимпиадные без решения нельзя

Это где-то зафиксировано в правилах форума?

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение29.12.2020, 19:57 


05/09/16
12128
Padawan
Ну лично мне это кажется скорее головоломкой. Потому что вряд ли тут будет какая-то продуктивная идея кроме Тейлора, как почти во всех подобных. Но мало ли...
Тут на стороне подсказывают что надо глянуть на логарифм $20$, который подозрительно похож на $3$, но все-таки тройка чуть больше. Это, правда, тоже видимо через ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение30.12.2020, 18:11 


01/03/13
2614
$e^\pi$ - это постоянная Гельфонда
$23,1406926328...-3,14159265359...=19,9990999792...<20$
Калькуятором не пользовался :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение30.12.2020, 18:34 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Osmiy в сообщении #1498367 писал(а):
$e^\pi$ - это постоянная Гельфонда
$23,1406926328...-3,14159265359...=19,9990999792...<20$
Калькуятором не пользовался :mrgreen:
Некорректно малость записано. Если уж ставить многоточие, то округлять цифру перед ним не следует. Скорее обрывать нужно в подходящем месте...

-- Ср дек 30, 2020 19:38:19 --

Не знаю, зачем значение этой разности записано в свойства постоянной Гельфонда в Википедии?

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение31.12.2020, 01:13 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
geomath в сообщении #1498370 писал(а):
Не знаю, зачем значение этой разности записано в свойства постоянной Гельфонда в Википедии?
Потому что оно "почти целое", а это любопытный факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение31.12.2020, 07:59 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Aritaborian в сообщении #1498401 писал(а):
Потому что оно "почти целое", а это любопытный факт.
Вон оно что...

(Оффтоп)

- Вовка! Почему по биологии двойка?
- Учительница спросила, у кого самые большие яйца. Я ответил, что у слона.
- Ну правильно.
- А она сказала, что у страуса.
- Вон оно что... То-то он такие медленные вальсы сочинял.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 11:31 
Заблокирован


16/04/18

1129
По поводу. Решим уравнение
$$
e^{x} - x=20.
$$
Решение $x_0$ выражается через функцию Ламберта, вторую ветвь
$$
x_0=-ProductLog[-1, -E^-20.] - 20 \approx 3,1416...
$$
Так как функция $f(x)=e^{x} - x$ монотонно возрастает, то если взять чуть меньше 3,1415...
то равенство заменится на <. Понятно , это не доказательство, без претензий.
Хочу напомнить старую задачу, похожую:
$$
e^{\pi}< {\pi}^e,
$$
и предложить ещё одну по образцу исходной
$$
e^{\pi}-0,7 < {\pi}^e.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 12:58 


05/09/16
12128
novichok2018 в сообщении #1499018 писал(а):
Хочу напомнить старую задачу, похожую:
$$
e^{\pi}< {\pi}^e,
$$

Это неверное неравенство, ибо $\forall x>0, e^x \ge x^e $ (докажите :mrgreen: )

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 13:01 
Заблокирован


16/04/18

1129
Да, конечно, нужно поменять знак, ошибся.
Это достаточно несложная задача на производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 13:58 


05/09/16
12128
novichok2018 в сообщении #1499037 писал(а):
Это достаточно несложная задача на производную.

Я тоже думал что несложная, но почему-то на неё потратилось много времени у меня (озаботился в школе ещё, решил на 1 курсе).

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 14:26 
Аватара пользователя


15/04/15
1578
Калининград
worm2 в сообщении #1498271 писал(а):
Ну поскольку тема в разделе "Загадки, головоломки, ребусы", то надо искать какой-то подвох в условии.

Ой! Какой занятный ребусик! Вывожу помадой по стеклу:
e in pi - pi = ein (1)
1<20

 Профиль  
                  
 
 Re: e и pi, без калькуятора
Сообщение05.01.2021, 14:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Но увы по-английски возводят не in степень, а to. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group