Количество корней многочлена

[vpb]

nnosipov в сообщении #1498865 писал(а):

Да, а чем Вас не устраивает стандартное доказательство (то, которое в учебнике)? Если каждое более-менее понятное утверждение передоказывать по-другому, на содержательные теоремы времени может не остаться.

В целом я с Вами, коллега, совершенно согласен, что неча каждое утверждение пытаться доказать непременно "по своему, не так, как в учебнике". Но теорема о числе корней --- как раз исключение из этого правила. Ибо можно доказывать с помощью теоремы об однозначности разложения для многочленов от одной переменной над полем (кувалдой, так сказать), а есть и альтернативное изящное доказательство.

Как бы тут подсказать ТС, чтоб полное решение не писать ? .... Наверное так. Допустим, $f(x)$ имеет корни $c_1$ и $c_2$ (и, возможно, не только их). Тогда оно имеет вид $f(x)=(x-c_1)h(x)$ (почему?). И, что в такой ситуации еще можно сказать про $h(x)$, и почему ?

[nnosipov]

vpb в сообщении #1498883 писал(а):

Как бы тут подсказать ТС, чтоб полное решение не писать ? ....

Так это и есть стандартное рассуждение (по-моему), самое простое в данной ситуации. Все остальное (теория делимости+всякие интерполяционные формулы) именно что кувалды, которые идут дальше, при стандартном же построении курса теории многочленов.

Здесь мне нравится изложение Винберга, "Алгебра многочленов" (М., Просвещение, 1980).

[vpb]

А давайте спросим у ТС, по какому учебнику он учится ! (Если у них в учебнике такое доказательство, то я тоже не понимаю, чего ему хочется).

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1498865 писал(а):

Тогда докажите, что если $f(x)$ делится на $x-c_1$ и на $x-c_2$ (при этом $c_1 \neq c_2$), то $f(x)$ делится на $(x-c_1)(x-c_2)$.

Здесь нужна теорема о существовании и единственности разложения необратимого ненулевого элемента в евклидовом кольце на простые множители? С ней вроде бы могу. А вот элементарными методами без нее не получается.

nnosipov в сообщении #1498865 писал(а):

Да, а чем Вас не устраивает стандартное доказательство (то, которое в учебнике)? Если каждое более-менее понятное утверждение передоказывать по-другому, на содержательные теоремы времени может не остаться.

Когда я пытался самостоятельно доказать эту теорему, я был уверен, что тут будет метод от противного. Не получилось, посмотрел в учебник. А там прямое доказательство. И самое главное, больно уж оно прозрачное оказалось. Мне интересно, почему прямое такое прозрачное, а от противного не работает.

vpb в сообщении #1498883 писал(а):

Ибо можно доказывать с помощью теоремы об однозначности разложения для многочленов от одной переменной над полем (кувалдой, так сказать), а есть и альтернативное изящное доказательство.

Альтернативное изящное - это наверное то прямое из учебника и есть. Учебник - Винберг "Курс алгебры", стр. 99.

[vpb]

EminentVictorians
В таком случае, вот с этим утверждением

nnosipov в сообщении #1498865 писал(а):

Да, а чем Вас не устраивает стандартное доказательство (то, которое в учебнике)? Если каждое более-менее понятное утверждение передоказывать по-другому, на содержательные теоремы времени может не остаться.

я согласен вообще полностью. То есть, мне кажется, у Вас имеется какое-то чувство неудовлетворенности (когнитивный диссонанс, говоря по нынешнему), однако оно, фактически, на пустом месте. У меня в жизни бывало не раз, что я по поводу каких-то вещей из книжек имел собственные хорошие мысли ... а бывало так, что мне так всего лишь казалось, что у меня есть такие мысли, причем очень упорно казалось !

В крайнем случае, всё должно развеяться, когда узнаете теорему об однозначности разложения в кольце многочленов.

-- 03.01.2021, 22:20 --

EminentVictorians в сообщении #1498899 писал(а):

Альтернативное изящное - это наверное то прямое из учебника и есть. Учебник - Винберг "Курс алгебры", стр. 99

Да, конечно. Просто мне самому в голову первое, что пришло --- это через однозначность разложения. Поэтому то, которое в Винберге, оказалось "альтернативное".

[Odysseus]

EminentVictorians в сообщении #1498899 писал(а):

Мне интересно, почему прямое такое прозрачное, а от противного не работает.

Из любого прямого доказательства можно сделать доказательство от противного мерзкого, гадкого если в начале добавить "Предположим, что это неверно". После этого проводится ровно то же прямое доказательство, и в итоге говорится, что допущение неверно и поэтому "доказано от противного". Как раз сегодня это обсуждалось в теме Доказательство теоремы о мощности множества подмножеств. Это, очевидно, совсем не имеет смысла.

Или придется изобретать что-то совсем другое. Но такое изобретение, а значит и допущение/конструкция противоречащие теореме, должны быть или естественны, или, как минимум, что-то добавлять в понимание доказательства, иначе это особого смысла тоже не будет иметь. Теорема Пифагора тоже прямая и прозрачная, как и множество остальных. Их все тоже нужно пытаться доказывать от противного? Наверное, в каких-то случаях можно нагромоздить что-то искусственное, но обычно понимания это не добавит.

Уточню, что я как раз поддерживаю знание нескольких доказательств теорем, и поэтому всегда полезно читать несколько учебников по данной теме параллельно (или, как минимум, заглядывать в другие параллельно с основным). Но смысл всегда не в способе доказательства (от прямого или противного), а в прояснении структуры и идей, которые лежат внутри него. Именно последние должны быть главной мотивацией и будут приносить больше пользы. Иначе отсюда прямая дорога в попытки доказывать что-то без использования аксиомы выбора, или максимально ослабляя требования известных элементарных теорем, или ослабляя вещи типа стандартных аксиом групп и поля (что, как известно, возможно, и потом из них выводятся остальные аксиомы), но это не помогает понять что-то новое и существенное об этих структурах, может быть интересно только узким специалистам в данной области, и является примерно такой же патологией.

[EminentVictorians]

Я проработал прямое доказательство той теоремы из стартового поста. С ним вопрос закрыт. Но возникла проблема со следующей теоремой.

Винберг, стр. 100 писал(а):

Теорема 3.Число корней ненулевого многочлена с учетом их кратностей (т.е. если каждый корень считается столько раз, какова его кратность) не превосходит степени многочлена, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда этот многочлен разлагается на линейные множители.
Доказательство. Перепишем равенство (4), объединив одинаковые множители:

$$f = (x - c_1)^{k_1}(x - c_2)^{k_2}...(x - c_s)^{k_s}g ~~~~~~~(6)$$

($c_1, c_2, ,,, , c_s$ различны). Ясно, что $c_1, c_2, ... , c_s$ - это все корни многочлена $f$. Далее, выделяя в (6) множитель $(x - c_i)^{k_i}$, мы можем написать

$$f = (x - c_i)^{k_i}h_i$$

, где $h_i(c_i) \ne 0$. Следовательно, $c_i$ - корень кратности $k_i$
Таким образом, число корней многочлена $f$ с учетом их кратностей равно

$$k_1 + k_2 + ... + k_s = \deg f - \deg g$$

, откуда и вытекают все утверждения теоремы.

Чтобы было удобно читать тем, у кого нет времени на поиск соответствующего места в учебнике, процитирую еще пару фрагментов.

Винберг, стр. 100 писал(а):

Корень $c$ многочлена $f$ называется простым, если $f$ не делится на $(x - c)^2$, и кратным в противном случае. Кратностью корня $c$ называется наибольшее из таких $k$, что $f$ делится на $(x - c)^k$.

Винберг, стр. 99 писал(а):

Продолжая так дальше, мы в конце концов представим многочлен $f$ в виде

$$f = (x - c_1)(x - c_2)...(x - c_m)g ~~~~~~~~~ (4)$$

, где многочлен $g \in K[x]$ не имеет корней. Числа $c_1, c_2, ... , c_m$ (среди которых могут быть и одинаковые - примечание мое) - это все корни многочлена $f$.

Последнюю цитату я набрал, чтобы было понятно, о каком равенстве (4) идет речь. Она относится к предыдущему доказательству. Основное доказательство, про которое у меня возник вопрос, я набрал полностью в первой цитате.





У меня есть сомнения насчет вот этого места:

Цитата:

Далее, выделяя в (6) множитель $(x - c_i)^{k_i}$, мы можем написать

$$f = (x - c_i)^{k_i}h_i$$

, где $h_i(c_i) \ne 0$. Следовательно, $c_i$ - корень кратности $k_i$

Я согласен с тем, что $c_i$ - корень кратности не меньшей, чем $k_i$. Но откуда следует, что у $c_i$ кратность не может быть больше $k_i$? У меня подозрение, что здесь неявно используется теорема об однозначности разложения многочлена, которой еще не было.

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1499114 писал(а):

Но откуда следует, что у $c_i$ кратность не может быть больше $k_i$? У меня подозрение, что здесь неявно используется теорема об однозначности разложения многочлена, которой еще не было.

Нет, не используется. Рассуждаем от противного: пусть больше. Тогда $f(x)=(x-c_i)^{k_i}h(x)$ делится хотя бы на $(x-c_i)^{k_i+1}$, а значит, $h(x)$ делится на $x-c_i$ (вытекает из определения делимости многочленов и того факта, что кольцо многочленов не имеет делителей нуля), что влечет $h(c_i)=0$ --- противоречие.

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1499181 писал(а):

а значит, $h(x)$ делится на $x-c_i$ (вытекает из определения делимости многочленов и того факта, что кольцо многочленов не имеет делителей нуля)

Вот это непонятно. Из определения делимости следует лишь то, что $f$ можно представить так: $f = (x-c_i)^{k+1}g$, где $g$ - какой-то многочлен. Как это должно сказаться на то, делится там $h_i$ на что-то или не делится?

[nnosipov]

Имеем $f(x)=(x-c_i)^{k_i}h(x)=(x-c_i)^{k_i+1}g(x)$. Сократим на $(x-c_i)^{k_i}$. (Почему это можно сделать? Потому что нет делителей нуля в кольце многочленов.) После сокращения получим $h(x)=(x-c_i)g(x)$.

[EminentVictorians]

nnosipov
Большое Вам спасибо! Я не подумал приравнять эти 2 выражения. Теперь все понятно, разобрался.

[nnosipov]

Вот и хорошо. Читайте Винберга, хороший учебник.