Синус плюс косинус

[Otta]

EUgeneUS в сообщении #1498837 писал(а):

Представьте так: $3 \alpha = 2\alpha + \alpha$
после чего воспользуйтесь формулами для синуса и косинуса суммы углов.

Дальняя дорога. Синус разности же, в готовом виде.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1498842 писал(а):

Господь с Вами! Тут же готовая формула.

Otta в сообщении #1498870 писал(а):

Синус разности же, в готовом виде.

$$\sin 2 \alpha \cos 3 \alpha-\cos 2\alpha \sin 3 \alpha-\sin \alpha=\sin (2 \alpha -3\alpha)-\sin \alpha=\sin (-\alpha)-\sin \alpha=-\sin \alpha-\sin \alpha=-2\sin \alpha.$$

Odysseus в сообщении #1498867 писал(а):

Вы знаете как выводить все тригонометрические тождества?

У меня план: сначала, не зная, как они выводятся, посмотреть, как они взаимодействуют - это ведь возможно? - а затем заняться их выведением (но им я обязательно займусь, иншалла).

[arseniiv]

Просто их вывод показывает, как понимаю (я уже не помню как делал страшные тригонометрические преобразования, да и частью их вроде избежал), немало подходов, полезных для работы и с произвольными тригонометрическими выражениями. Или нет, но ещё вывод помогает эти тождества покрепче запомнить. Хотя бы на то время пока они будут нужны — а то потом может оказаться проще использовать комплексные числа для вывода всех этих соотношений (особенно легко — функций от суммы, разности и кратных аргументов), и когда перестаёшь сталкиваться со страшными учебными выражениями, начисто забываешь всё кроме ну главного тождества, базовых свойств функций (чётная-нечётная, формулы приведения через воображение графиков…), удвоенного аргумента, суммы (разность автоматически), все формулы с тангенсами вообще не оставляют и следа — но идеи, упрощающие вывод большинства косинусо-синусных формул через комплексные числа не забыть. Разве что я вечно забываю, что делать с произведениями функций — в лоб как-то зубодробительно выходит, должно быть проще.

-- Пн янв 04, 2021 00:17:08 --

(И вот пример упомянутого лёгкого получения формул кратного аргумента с помощью формулы Муавра $(e^x)^n = e^{nx}$ и бинома Ньютона. Обозначим $\cos x = c, \sin x = s$ для укорочения.

$$\cos nx + i\sin nx = (c + i s)^n = \sum_{m = 0}^n \textstyle{\binom nm}\; c^{n-m}\; (i s)^m,$$

и дальше эта сумма легко выписывается явно для каждого конкретного $n$ и делится на две части — все слагаемые без $i$ это $\cos nx$, а все слагаемые с $i$ это $i \sin nx$ (легко видеть, если предположить $x$ вещественным, хотя работать будет вообще и для комплексного), и возведение $i$ в степень даёт чередование знаков в этих разложениях. После можно выписать на основе этой суммы и отдельные суммы для косинуса и синуса, но это будет больше упражнением в формализации.)

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498890 писал(а):

У меня план: сначала, не зная, как они выводятся, посмотреть, как они взаимодействуют - это ведь возможно? - а затем заняться их выведением (но им я обязательно займусь, иншалла).

Посмотреть-то возможно, но какую это принесет пользу? Смысл доказательств не в том, чтобы убедиться, что нечто является правильным, а в том, чтобы гораздо лучше понимать это. После этого тригонометрические тождества будут для вас намного знакомее и "роднее", будут близкими приятелями, а не посторонними людьми из толпы, которых вы выдергиваете и проверяете подходят они или нет. И задачи тоже будете при этом понимать и решать намного лучше.

Представьте, что вы решаете эти задачи не зная, что такое синус и косинус, просто относясь к этому как к каким-то формальным символам, которые преобразуются согласно формулам в справочнике. Было бы это эффективным? Но не разобравшись достаточно в теории, вы, на самом деле, не так далеко от этого отходите. Ну и теория/доказательства здесь очень простые, не должны занять много времени, так что зачем откладывать?

В общем, лично мне ваш план не кажется эффективным. Но я не знаю ваших точных целей. Может они совсем другие, чем мне кажется. Так что решать вам. Единственное, что могу тогда посоветовать, это сформулировать для себя какие-то более-менее конкретные и краткосрочные цели, проверять их достижение, и затем корректировать ваши планы, если не все получается как ожидали.

-- 03.01.2021, 11:24 --

Ну вот и arseniiv вам пишет то, что я уже несколько раз объяснял и советовал. Надеюсь, что поддержка такой тяжелой артиллерии вас убедит :)

[Vladimir Pliassov]

arseniiv , Odysseus , вы меня убедили: хотел отложить, но не буду - сейчас посмотрю, как они выводятся (тем более, что план свой уже частично осуществил).

[arseniiv]

Кому было интересно и кто не переоткрыл самостоятельно (мне например сегодня толсто намекнули):

arseniiv в сообщении #1498892 писал(а):

Разве что я вечно забываю, что делать с произведениями функций — в лоб как-то зубодробительно выходит, должно быть проще.

Всё оказывается ровно так же просто. Вместо целиком комплексной экспоненты мы в таком случае берём выражения косинуса или синуса через неё. Например нам надо разложить в сумму линейных относительно функций одночленов произведение $\cos x \cos y$. Мы просто берём $\cos x = \frac12 (e^{i x} + e^{-i x})$ и подставляем и упрощаем так же прямо, как было выше (и собираем назад по-другому, но довольно прозрачно):

$$\tfrac14 (e^{i x} + e^{-i x}) (e^{i y} + e^{-i y}) = \ldots = \tfrac12 (\tfrac12 (e^{i (x + y)} + e^{-i (x + y)}) + \tfrac12 (e^{i (x - y)} + e^{-i (x - y)})) = \tfrac12 (\cos (x + y) + \cos (x - y)).$$

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1498956 писал(а):

Вместо целиком комплексной экспоненты мы ... берём выражения косинуса или синуса через неё.

Если из формул Эйлера

$$\cos b= \frac {e^{bi}+e^{-bi}}{2}, \,\,\,\,\,\,\,\, \sin b=\frac{e^{bi}-e^{-bi}}{2i}$$

вторую изменить:

$$i\sin b=\frac{e^{bi}-e^{-bi}}{2}$$

(она получается из разности равенств $\cos b+i\sin b=e^{bi}$ и $\cos b-i\sin b=e^{-bi}$ - см. https://scask.ru/q_lect_alg.php?id=29 , стр.51), - то

$$\cos b\cdot i\sin b=\Bigg (\frac {e^{bi}}{2}+\frac {e^{-bi}}{2}\Bigg)\Bigg (\frac {e^{bi}}{2}-\frac {e^{-bi}}{2}\Bigg)={\Bigg (\frac {e^{bi}}{2}\Bigg )}^2- {\Bigg (\frac {e^{-bi}}{2}\Bigg )}^2.$$

Может ли в этом быть какой-то смысл? То есть может ли быть смысл в том, чтобы умножать $\cos b$ на $i\sin b$?

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Вы рано остановились, продолжайте дальше. Вы знаете правила преобразования показательных функций? Чему, например, равно $({e^{bi}})^2$?

И речь шла о произведении тригонометрических функций разных углов: $\cos x \cos y$, $\sin x \cos y$, $\sin x \sin y$. Преобразования там не сложнее, чем для одинаковых углов, которые вы взяли. И последние выводятся из них.

Но вообще-то еще раз рекомендую открыть учебники. Вопросы типа "может ли быть смысл в том, чтобы умножать $\cos b$ на $i\sin b$?" и некоторые другие звучат так, как будто вы этого никогда не делали...

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1498986 писал(а):

Вы рано остановились, продолжайте дальше. Вы знаете правила преобразования показательных функций? Чему, например, равно $({e^{bi}})^2$?

$$\cos b\cdot i\sin b=\Bigg (\frac {e^{bi}}{2}+\frac {e^{-bi}}{2}\Bigg)\Bigg (\frac {e^{bi}}{2}-\frac {e^{-bi}}{2}\Bigg)={\Bigg (\frac {e^{bi}}{2}\Bigg )}^2- {\Bigg (\frac {e^{-bi}}{2}\Bigg )}^2=$$

$$=\frac {e^{2bi}}{4}-\frac {e^{-2bi}}{4}=\frac 14(e^{2bi}-e^{-2bi}).$$

Odysseus в сообщении #1498986 писал(а):

И речь шла о произведении тригонометрических функций разных углов: $\cos x \cos y$, $\sin x \cos y$, $\sin x \sin y$.

Я писал не о том же самом, а в связи с тем, о чем там шла речь.

[arseniiv]

Ага, вот у вас и получился синус двойного угла, только «в обратную сторону». Достаточно только перенести $2i$ слева в правую часть.

Но вот если брать разные аргументы у косинуса и синуса, группировка выражений дальше по-моему должна быть более очевидной, и если другие согласятся, это будет одним из случаев упрощения задачи при её обобщении.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Вы опять рано остановились. Продолжите преобразования последнего выражения в вашей цепочке. И рекомендую сделать то же самое с разными аргументами, как вам уже советовали.