Уравнение x^2+y^2-z^2=1

[scwec]

Найдите 2-параметрическое решение уравнения $x^2+y^2-z^2=1$ в целых числах $x,y,z$

[nnosipov]

Ну, например $x=2ab-1$, $y=ab^2-a-b$, $z=ab^2+a-b$.

[scwec]

Или так:
$x=a^2+{a^3}b+b^2-{b^3}a$
$y=2a^2{b^2}-1$
$z=a^2+{a^3}b-b^2+{b^3}a$
Интересно, как выглядит полное решение. Кармайкл этого, правда, не спрашивает.
Задача из упражнений в его книге "Diophantine analysis".

[nnosipov]

scwec в сообщении #1498825 писал(а):

Интересно, как выглядит полное решение.

Вряд ли сколь нибудь хорошо. Хотя ... Это же можно записать в виде $(x-1)(x+1)=(z-y)(z+y)$ и дальше чего-нибудь помудрить.

[lel0lel]

scwec в сообщении #1498825 писал(а):

как выглядит полное решение

Эйлер:
$ (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 $
Полагая $ac-bd=\pm 1$, получаем полное решение рассматриваемого уравнения. Последнее в параметрической форме решить не получится --- факторизация.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1498862 писал(а):

scwec в сообщении #1498825
писал(а):
Интересно, как выглядит полное решение. Вряд ли сколь нибудь хорошо.

lel0lel в сообщении #1498871 писал(а):

Последнее в параметрической форме решить не получится --- факторизация.

Соглашусь с этим. Решение в целых числах получить в частной форме - пожалуйста (два приведенных решения), а полное параметризованное решение - не получается.

[scwec]

Найдем бесконечную серию целых 2-параметрических решений исходного уравнения.
Сначала, используя метод секущих, найдем 2-параметрическое решение в рациональных числах и запишем его в виде
$x=m+\frac{n(m^2-1)}{m^2+1}, y=1+\frac{2mn}{m^2+1}, z=m+n$, где $m,n$ - рациональные параметры.
Отсюда видно, что полагая $n=k(m^2+1)^s$ ($s$ натуральное, $m,n,k$ целые числа) находится решение в целых числах
$x=m+k(m^2-1)(m^2+1)^{s-1}, y=1+2km(m^2+1)^{s-1}, z=m+k(m^2+1)^s$.
Для каждого $s$ имеем 2-параметрическое решение исходного уравнения в целых числах.
Для $s=1$ получаем решение, указанное nnosipov.
Следующее решение для $s=2$
$x = m+km^4-k, y = 1+2{m^3}k+2mk, z = m+km^4+2km^2+k$, ну и т.д. Получается бесконечная серия нужных решений.
Решение, предложенное мной, в эту схему не укладывается, поскольку нужно допустить не целые $m,n$,
хотя на выходе получатся целые числа.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1498815 писал(а):

Уравнение $x^2+y^2-z^2=1$

Если положить $\gcd (x,y)=1$, решение строго формализуется в континуантах:

$$[a_{n-1},...,a_2,2a_1,a_2,...a_{n-1},a_n]^2+[a_{n-1},...,a_2,a_1-1,1,a_1-1,a_2,...,a_n]^2-[a_{n-1},...,a_1,a_1,...,a_{n-1},a_n]^2=1$$

Я не знаю сколько оно параметрическое, но равенство $45^2+35^2-57^2=1$ таким способом не выразить: $\gcd (45,35)=5$. А так задача становится не то чтобы сложной, но мутной. Надо брать аргументом пифагорову тройку, и далее без уточнений не обойтись.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1498952 писал(а):

но равенство $45^2+35^2-57^2=1$ таким способом не выразить

Но с помощью формул для рациональной параметризации, приведенных выше, это равенство благополучно разрешается:
$m=17/6,n=325/6,x=45,y=35,z=57$,
$m=-1/3,n=-170/3,x=45,y=35,z=-57$
$m=2,n=55,x=35,y=45,z=57$
$m=-11/23,n=-1300/23,x=35,y=45,z=-57$

[lel0lel]

Пусть $a\in \mathbb{N}$ и $(a,d)=1$. Определим целые $m=d^{\varphi(a)-1}\bmod{a}$ и $n=(m d-1)/a.$ Тогда

$$(2d(k a\mp m)\pm 1)^2+(ad-(k a\mp m)(kd\mp n))^2-(ad+(k a\mp m)(kd\mp n))^2=1.$$

Здесь независимые параметры это $a,d,k$.

Можно получать неполные трёхпараметрические решение без функции Эйлера:

$$(2 b d k (b d-1)-2 b d\pm 1)^2+(d k (b d-1)^2\mp d(bd-1)-b(bdk\mp 1))^2-(d k (b d-1)^2\mp d(bd-1)+b(bdk\mp1))^2=1$$

[scwec]

Комментарии. Решения lel0lel интересные, а соображения Andrey A романтичные.
Теперь, если в правой части исходного уравнения заменить $1$ на $r^2$ - фиксированное целое число, то бесконечная серия 2-параметрических целых решений годится и в этом случае. Выглядит она так
$x=m+(m^2-r^2)k(m^2+r^2)^{s-1}$
$y=r+2mrk(m^2+r^2)^{s-1}$
$z=m+k(r^2+m^2)^s$
Заменим в правой части $1$ на произвольное фиксированное целое $r$.
В этом случае существуют целые 1-параметрические решения разные для четных и нечетных $r$
1. $r=2N, x=(2t+1),y=(2t^2+2t-N),z=(2t^2+2t-N+1)$
2. $r=2N-1, x=2t, y=2t^2-N,z=2t^2-N+1$
Из них можно изготовить 2-параметрические решения, но уже в рациональных числах.
Из интереса предлагаю это сделать.

[Andrey A]

scwec
Всё-таки $x^2+y^2-z^2=1$ полностью сводится к уравнению $AX-BY=\pm 2$ со вз. простыми параметрами $A,B$ и одночетными переменными $X,Y$:

$$x=\dfrac{AX+BY}{2},y=\dfrac{AY-BX}{2},z=\dfrac{AY+BX}{2}.$$

Можно попробовать выписать второе выражение в континуантах, но не хочу мудрить. Тут $\gcd \left ( \left | x+1 \right |,\left | z+y \right | \right )=A, \gcd \left ( \left | x-1 \right |,\left | z-y \right | \right )=B,$ вроде бы так. Попробуйте задать контрпример.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1499656 писал(а):

Всё-таки $x^2+y^2-z^2=1$ полностью сводится к уравнению $AX-BY=\pm 2$ со вз. простыми параметрами $A,B$ и одночетными переменными $X,Y$:

$$x=\dfrac{AX+BY}{2},y=\dfrac{AY-BX}{2},z=\dfrac{AY+BX}{2}.$$

Но рациональные формулы в 2-праметрическом решении для $x,y,z$ должны содержать только два параметра и никаких новых переменных.

[nnosipov]

Здесь разумно ожидать 3 целочисленных параметра (потому что это поверхность, а значит, параметризуется 2 рациональными параметрами, а два рациональных числа можно задать 3 целыми). Но эти 3 параметра не будут независимы, будет некое условие типа сравнения по модулю. Разрешив это сравнение явно (при любом фиксированном значении 3-го параметра), получим сколь угодно много конкретных 2-параметрических семейств решений.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1499695 писал(а):

рациональные формулы в 2-праметрическом решении для $x,y,z$ должны содержать только два параметра

Это будут два выражения в континуантах (второе для нечетной пары $X,Y$). Они во-первых "романтичные" по Вашему выражению, во-вторых $n-$параметрические. Выписывать?

P.S. Добавлю еще, что из $a^2-b^2+c^2=1$ следует
$(a^2-b^2-c^2)^2-(2bc)^2+(2ac)^2=1$
$(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2+(2ac)^2=1$
Значит, из любого решения можно строить бесконечные серии решений.