Теория алгоритмов, цифры в записи числа

[Jfresearch]

Почему для записи числа $N>0$ в системе счисления $b$ необходимо $\log_{b}{N}$ цифр? Поняла алгоритм для десятичной и двоичной системы счисления (подставив значения), но откуда возник логарифм и почему при помощи $k$ цифр от $0$ до $b-1$ можно записать $b^{k}-1$ чисел?
Мои вычисления для 10-тичной системы счисления: $\lg{N}=x$, $10^x=N$, следовательно в числе $N$ получится $x+1$ цифр ($\lg{N}$, если допустить ошибку в плюс-минус одном разряде), но это чисто на практике, а доказательной базы для любой системы счисления не хватает.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

А как вы вообще формально определяете "запись числа в системе счисления с основанием $b$"?
Стандартное определение - это последовательность $a_ka_{k-1}\ldots a_1$ из $k$ чисел (цифр) от $0$ до $b - 1$, причем если $k \neq 1$, то $a_k \neq 0$. Соответствующее этой записи число - $\sum_{i=1}^k b^{i - 1} a_i$.
Какое самое большое число можно записать, используя не более $k$ разрядов?

Jfresearch в сообщении #1498650 писал(а):

почему при помощи $k$ цифр от $0$ до $b-1$ можно записать $b^{k}-1$ чисел?

Только не $k$ цифр, а не более чем $k$ цифр (ну либо разрешать ведущие нули).
Еще тут стоит ноль считать полноценным числом, тогда и единицу вычитать не придется.