Синус плюс косинус

[Vladimir Pliassov]

С наступающим Новым годом!

В https://www.premierdevelopment.ru/formu ... etrii.html (09.5) стоит:

$$(\sin\alpha +\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha,$$

и это понятно:

$$(\sin\alpha +\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2\alpha=1+\sin 2\alpha.$$

Но там (13.1) стоит также:

$$\sin\alpha +\cos\alpha=\sqrt 2 \sin (\alpha+\frac \pi 4).$$

Как выводится эта формула?

Спасибо.


​

[lel0lel]

Синус суммы.

[StaticZero]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498516 писал(а):

Как выводится эта формула?

В теории колебаний впервые встречается в силу удобства в общем виде

$$ A \sin x + B \cos x = \sqrt{A^2+B^2} \sin (x + \phi) $$

где $\phi$ надо специально выбрать.

[Vladimir Pliassov]

lel0lel в сообщении #1498517 писал(а):

Синус суммы.

Спасибо, понял:

$$\sin (\alpha+\frac\pi 4)=\sin \alpha \cos \frac\pi 4+\cos \alpha \sin \frac\pi 4=\sin \alpha \frac {\sqrt 2}{2}+\cos \alpha \frac {\sqrt 2}{2}=\frac {\sqrt 2}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha) \rightarrow$$ $$\rightarrow \sin \alpha +\cos \alpha=\frac {2}{\sqrt 2}\sin (\alpha+\frac\pi 4)=\sqrt 2 \sin (\alpha+\frac\pi 4).$$

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

http://dgunh.ru/content/glavnay/oop-new/files-spo/Sbor_indiv_zadaniy.pdf стр.13.

5. Упростите выражение

$$\frac {1-2\cos^2 \beta}{\cos \beta+\sin \beta}$$

$$\frac {1-2\cos^2 \beta}{\cos \beta+\sin \beta}=\frac {-(2\cos^2 \beta-1)}{\cos \beta+\sin \beta}=\frac {-\cos 2 \beta}{\sin \beta+\cos \beta}.$$

Можно ли еще что-нибудь сделать? $\sin\beta +\cos\beta=\sqrt 2 \sin (\beta+\frac \pi 4),$ но может ли это помочь?

[Odysseus]

Подумайте как можно представить $ \cos2 \beta$
А еще, как к этому можно было бы прийти короче.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1498539 писал(а):

Подумайте как можно представить $ \cos2 \beta$
А еще, как к этому можно было бы прийти короче.

С Новым годом!

В https://www.premierdevelopment.ru/formu ... etrii.html 02.3, 02.4 есть шесть (стандартных?) представлений $ \cos2 \alpha,$ но, может быть Вы имеете в виду что-то другое?

[StepV]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498538 писал(а):

но может ли это помочь?

Нет! Вернитесь в начало. Надо единицу в числителе представить, как сумму синуса и косинуса в квадрате. Дальше все вычисления получаются на автомате.

С Новым годом!

[Odysseus]

Спасибо, вас тоже!

Vladimir Pliassov в сообщении #1498545 писал(а):

В https://www.premierdevelopment.ru/formu ... etrii.html 02.3, 02.4 есть шесть (стандартных?) представлений $ \cos2 \alpha,$ но, может быть Вы имеете в виду что-то другое?

Я имел в виду как раз одно из них. Посмотрите что у вас в знаменателе, и какое из тождеств для $ \cos2 \beta$ в этом случае подойдет больше всего.

И так же еще раз обращаю внимание, что к этому можно было бы прийти быстрее, т.е. без перехода на промежуточном шаге к $ \cos2 \beta,$. Стивен Хокинг как-то писал, что когда он слышит про кота Шредингера, то его рука тянется за ружьем. А куда должна тянуться рука, если в одной строке встречаются $1$ и квадрат косинуса или синуса, тем более если последний со знаком минус?

-- 31.12.2020, 14:29 --

StepV это вы зря...

[StepV]

Odysseus в сообщении #1498548 писал(а):

это вы зря...

Ваше сообщение чуть-чуть запоздало. Хотя, как я понял, вы говорите о том же только несколько иначе ставите акценты?
Или я вас не понял?

[Odysseus]

(Оффтоп)

StepV в сообщении #1498549 писал(а):

Или я вас не понял?

Почти поняли, но есть несколько проблем.
1. Были два сообщения и до этого, которые вы пропустили.
2. Можно было решить и через тождество для $ \cos2 \beta$. Это более длинный пусть, но ничего плохого поупражняться в этом нет.
3. ТС только начал решать задачу, и я уверен решил бы ее. Вы отвечали на его самый первый вопрос, но у него еще не было долгих и непреодолимых затруднений. Не следует, как минимум так быстро, сразу явно подсказывать решение. В таких случаях лучше направлять аккуратнее.

[Vladimir Pliassov]

StepV , Odysseus , спасибо, вы мне очень помогли!

$$\frac {1-2\cos^2 \beta}{\cos \beta+\sin \beta}=\frac {\sin^2 \beta+\cos^2 \beta -2\cos^2 \beta}{\sin \beta +\cos \beta}=\frac {\sin^2 \beta-\cos^2 \beta}{\sin \beta +\cos \beta}=\frac {(\sin \beta+\cos \beta)(\sin \beta-\cos \beta)}{\sin \beta +\cos \beta}=\sin \beta-\cos \beta.$$

Дальше не надо? То есть можно было бы выразить $\sin\beta -\cos\beta$ как $\sqrt 2 \sin (\beta-\frac \pi 4),$ но есть ли смысл?

Но я еще попробую решить и через тождество для $ \cos2 \beta$, как рекомендует Odysseus.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498553 писал(а):

Дальше не надо? То есть можно было бы выразить $\sin\beta -\cos\beta$ как $\sqrt 2 \sin (\beta-\frac \pi 4),$ но есть ли смысл?

Это вопрос вкуса и контекста. Обычно, я бы сказал, что есть смысл, поскольку
- Одно слагаемое проще, чем два (дополнительный множитель и другой аргумент играют при этом меньшую роль). Например, потому, что геометрический смысл и свойства (типа четности-нечетности и периодичности) у результата становятся яснее.
- Во время обучения это дополнительное упражнение на тригонометрические тождества.

Но может зависеть от контекста. Если данное упрощение это часть бОльшего выражения, в котором, например, уже встречаются $\sin\beta$ и/или $\cos\beta$, то может иметь смысл оставить $\sin\beta -\cos\beta$, если они потом с чем-то сократятся или это будет какой-то ряд и т.д. Аналогично как у вас было с исходным значением числителя, когда прежде чем искать какое-то тождество для ${\cos^2 \beta}$ стоило обратить внимание на то, что там также стоит $1$ и привлечь ассоциативные связи о том, что при этом может быть.

Но более важные вопросы, на самом деле, другие. Вы знаете как выводить все тригонометрические тождества? Точнее, можете каждое из них вывести самостоятельно (запоминать все детали вывода формулы или доказательства теоремы в математике обычно менее полезно (и не особенно реально), важнее знать основные идеи и всегда восстановить вывод это если нужно)? Понимаете их геометрический смысл? С чем они у вас ассоциируются? Проверяли их на конкретных аргументах/примерах? Можете посмотрев на какое-то тождество и, не помня его и не доказывая, сказать похоже оно на правду или нет (проведя "реалити чек" на проверку четности-нечетности, периодичности, какие значения принимает в характерных точках типа $0$, $\pi$ и $\frac{\pi}{2}$)? Знаете комплексные числа, формулу Эйлера и как ее можно при этом применять?

Это все не отменяет важности решения задач, но последнее намного полезнее когда знаешь/понимаешь все выводы, а значит лучше понимаешь "что при этом происходит", а не просто пользуешься справочником готовых преобразований. Задачи должны служить для закрепления теории, значит прежде всего нужно знать теорию. Иначе это может быть нужно только для сдачи письменных экзаменов на какие-то вычисления (таким ограниченным целям часто учат в школе, но это малоинтересно, и, как я понимаю, это не ваша цель). Более того, те же задачи при лучшем понимании теории сможете решать быстрее, поскольку будете лучше понимать и представлять какие структуры/паттерны есть и какие лучше применять в каждом конкретном случае.

[Евгений Машеров]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498516 писал(а):

Как выводится эта формула?

Вывели Вы сами, а прояснить, откуда она взялась, можно, представив себе две стрелки, вращающиеся на оси и закреплённые под прямым углом. Проекция одной из них будет синус, второй косинус. А "сумма стрелок" будет диагональю квадрата, сторонами которого являются стрелки, имея длину в корень из двух раз больше и угол 45 градусов к ним.
Это не совсем фентезийное устройство, примерно так устроен вычислитель тригонометрических функций в прицеле ЗСУ "Шилка".

-- 01 янв 2021, 12:35 --

StaticZero в сообщении #1498530 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1498516 писал(а):

Как выводится эта формула?

В теории колебаний впервые встречается в силу удобства в общем виде

$$ A \sin x + B \cos x = \sqrt{A^2+B^2} \sin (x + \phi) $$

где $\phi$ надо специально выбрать.

Ну, там выбор довольно прост. Арктангенс от $\frac B A$

[Pphantom]

Евгений Машеров в сообщении #1498570 писал(а):

Это не совсем фентезийное устройство, примерно так устроен вычислитель тригонометрических функций в прицеле ЗСУ "Шилка".

Не только, подобное вообще было стандартной практикой примерно со второй половины XIX века до середины XX для разнообразных штурманских и артиллерийских целей.