Простые числа и палиндромы

[kazvadim]

wrest в сообщении #1498158 писал(а):

kazvadim в сообщении #1498019 писал(а):

Начало последовательности простых палиндромов:

А продолжение тут A002385

Спасибо, теперь будет проще со ссылками.

[Dmitriy40]

Andrey A в сообщении #1498134 писал(а):

kazvadim
Вы бы лучше выписали те простые, которые не представимы палиндромом ни в одной сис.сч.

Это тоже как-то многовато получается, до степеней 10 до ста миллионов не представимы палиндромом длиннее двух знаков 2, 7, 39, 219, 1200, 7433, 46587, 294929 простых соответственно. И кстати все они уже есть в A047811 (и A016038).

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1498195 писал(а):

Andrey A в сообщении #1498134 писал(а):

kazvadim
Вы бы лучше выписали те простые, которые не представимы палиндромом ни в одной сис.сч.

Это тоже как-то многовато получается, до степеней 10 до десяти миллионов не представимы палиндромом длиннее двух знаков 2, 7, 39, 219, 1200, 7433, 46587 простых соответственно. И кстати все они уже есть в A047811 (и A016038).

И зачем этими числами заниматься, когда они не представимы. Интереснее представимые числа.

[Andrey A]

Dmitriy40
Отлично! Любое составное — палиндром из двух знаков (кроме $4,6$), этим объясняется их отсутствие в списках. Ясно также, что простые можно разбить на "палиндромные" и "непалиндромные". Составные, думаю, тоже, если исключить из рассмотрения палиндромы из двух знаков. Из двух подмножеств простых как минимум одно бесконечное, но для фиксированного $m$ вопрос открыт. Еще $n^2=121_{n-1}.$

kazvadim в сообщении #1498202 писал(а):

Интереснее представимые числа.

Их так много, что уже неинтересно )

[kazvadim]

Andrey A в сообщении #1498203 писал(а):

kazvadim в сообщении #1498202 писал(а):

Интереснее представимые числа.

Их так много, что уже неинтересно )

Научимся выбирать нужные числа. Много (и правильно) потому, чтобы мы сообразили, что нам из палитры представленных чисел выбрать мазками для создания картины.

-- 29.12.2020, 03:13 --

По заявке. Простые числа, которые имеют палиндром в системах отсчёта: 2-ичной, 3-ичной, 4-ичной, 5-ичной, 6-ичной, 7-ичной, 8-ичной, 9-ичной. Последовательности:

Простые числа с палиндромом в 2-ичной СС
3, 5, 7, 17, 31, 73, 107, 127, 257, 313, 443, 1193, 1453, 1571, 1619, 1787, 1831, 1879, 4889, 5113, 5189, 5557, 5869, 5981, 6211, 6827, 7607, 7759, 7919, 8191, 17377, 18097, 18289, 19433, 19609, 19801, 21157, 22541, 22669, 22861, 23581, 24029, 25747, 25939, 27179, 27803, 28123, 28219, 28807, 29671, 30391, 31183, 31727, 65537, 70289, 71633, 72817, 74377, 75721, 77801, 77849, 79193, 81017, 83269, 83653, 85093, 85733, 86293, 86677, 88117, 92461, 95581, 96221, 97213, 98563, 98947, ...

Простые числа с палиндромом в 3-ичной СС
2, 13, 23, 151, 173, 233, 757, 937, 1093, 1249, 1429, 1487, 1667, 1733, 1823, 1913, 1979, 2069, 8389, 9103, 10111, 12301, 14951, 16673, 16871, 18593, 60103, 60913, 61507, 63127, 69697, 73243, 78979, 80599, 82003, 82813, 83407, 85027, 85549, 89977, 90787, 92119, 93739, 95143, ...

Простые числа с палиндромом в 4-ичной СС
2, 3, 5, 17, 29, 59, 257, 373, 409, 461, 509, 787, 839, 887, 907, 991, 4289, 4561, 5189, 5669, 5861, 6133, 6217, 6553, 6761, 7309, 7517, 7789, 7853, 12899, 13171, 13591, 14327, 14347, 14411, 14683, 14747, 14891, 15083, 15227, 15439, 15647, 15919, 16111, 16319, 65537, 69313, 71249, 72337, 73681, 74017, 75617, 75937, 81649, 83269, 84869, 86293, 88469, 90149, 90917, 91237, 91493, 92581, 94261, 99401, ...

Простые числа с палиндромом в 5-ичной СС
2, 3, 31, 41, 67, 83, 109, 701, 911, 1091, 1171, 1277, 1327, 1667, 1847, 2083, 2213, 2293, 2423, 2473, 2579, 2659, 2789, 2969, 3049, 16001, 16651, 19531, 20431, 21481, 23311, 23561, 24611, 25391, 26041, 27091, 28921, 30871, 31121, 31627, 32027, 33577, 34757, 35407, 36457, 37357, 38287, 40237, 40487, 41017, 42967, 44797, 45197, 46747, 47653, 47903, 48953, 49603, 49853, 50383, 51683, 52733, 54163, 54563, 55213, 56113, 56393, 57943, 59243, 61723, 63929, 64579, 65479, 67709, 69539, 70439, 71089, 72019, 72269, 74219, 74869, 75149, 77999, ...

Простые числа с палиндромом в 6-ичной СС
2, 3, 5, 7, 37, 43, 61, 67, 191, 197, 1297, 1627, 1663, 1699, 1741, 1777, 1999, 2143, 2221, 2293, 2551, 6521, 6779, 7001, 7109, 7151, 7187, 7331, 7481, 7517, 7703, 47521, 47737, 49069, 49537, 51517, 52201, 54181, 55987, 57751, 59083, 60631, 61099, 62653, 62869, 64633, 65101, 68881, 69313, 70003, 70867, 71551, 71983, 72883, 73999, 75079, 75979, 77527, 77743, 78649, 79333, 79549, 80449, 81097, 83761, 85093, 85999, 87547, 88663, 89563, 89779, 92227, 93307, ...

Простые числа с палиндромом в 7-ичной СС
2, 3, 5, 71, 107, 157, 257, 271, 307, 2549, 2647, 2801, 3347, 3697, 3851, 4201, 4397, 4649, 4951, 5399, 5651, 5749, 5903, 6449, 6701, 7451, 7703, 8053, 8501, 8753, 9103, 9551, 10007, 10357, 10903, 11057, 11953, 12157, 12409, 13109, 13907, 14159, 14461, 14657, 15161, 15259, 15511, 15959, 16057, 16561, ...

Простые числа с палиндромом в 8-ичной СС
2, 3, 5, 7, 73, 89, 97, 113, 211, 227, 251, 349, 373, 463, 479, 487, 503, 4289, 4481, 4937, 5393, 5521, 5657, 5849, 6761, 7537, 7993, 12547, 12611, 12739, 13003, 13259, 13331, 13523, 14107, 14563, 14627, 14891, 15083, 15667, 15731, 15859, 16187, 20549, 21589, 22109, 23669, 24317, 24509, 28807, 28871, 29063, 29327, 30103, 30367, 30431, 30559, 31079, 31663, 31727, 31799, 31991, 32119, 32183, ...

Простые числа с палиндромом в 9-ичной СС
2, 3, 5, 7, 109, 127, 173, 191, 227, 337, 373, 419, 601, 619, 683, 701, 719, 6967, 7129, 7867, 8443, 9181, 9343, 10333, 10657, 11071, 11971, 12547, 13033, 13367, 13691, 14843, 15581, 16319, 16481, 17957, 18119, 18371, 19433, 27067, 27967, 28867, 29443, 30181, 30757, 31081, 31657, 31981, 32233, 32719, 33053, 33377, 33629, 33791, 34367, 35267, 35591, 37643, 38219, 38543, 39119, 47491, 47653, 47977, 50767, 50929, 51343, 52081, 52901, 53639, 54377, 54539, 55529, 55691, 56267, 56591, 57329, 58067, 58229, 58481, 58967, ...

Это кому-нибудь интересно? Мне пока ничего не видно...

[Dmitriy40]

kazvadim в сообщении #1498204 писал(а):

Простые числа, которые имеют палиндром в системах отсчёта: 2-ичной, 3-ичной, 4-ичной, 5-ичной, 6-ичной, 7-ичной, 8-ичной, 9-ичной.

Зачем это перечислять здесь если они уже давно есть в OEIS? Например A016041, A029971...A029982 и т.д.

-- 29.12.2020, 03:53 --

Вообще если начало темы про длинные последовательности простых ещё хоть как-то тянуло на олимпиадный раздел, то продолжение про разные системы счисления уже совсем нумерология без проблеска идей.

[Andrey A]

(Оффтоп)

kazvadim в сообщении #1498204 писал(а):

Это кому-нибудь интересно? Мне пока ничего не видно...

А что тут можно увидеть, как Вы это себе представляете? Эврика! И... и... что? Зашифрованное послание? Некоторые дети читают взрослые книги не потому что понимают, хотя что-то понимают, но больше потому что самый процесс чтения доставляет им удовольствие. Наверное, из них потом вырастают очень продвинутые читатели вроде Дмитрия Быкоа.

Dmitriy40
На олимпиадный раздел ТС не претендовал. Статистики действительно излишне собрано, остается вопрос: для фиксированного $m$ существует ли $p$ такое, что запись $m$ в $p$-ичной сист. сч. образует палиндром из $3$-х и более знаков? Как его найти аналитическими методами — это уже в идеале. Похоже на глухарь. А в непрерывных дробях вопрос решенный.

[Dmitriy40]

Andrey A в сообщении #1498220 писал(а):

На олимпиадный раздел ТС не претендовал.

Он то не претендовал, но можно было бы туда отправить. А здесь ещё менее уместно кмк.

Andrey A в сообщении #1498220 писал(а):

остается вопрос: для фиксированного $m$ существует ли $p$ такое, что запись $m$ в $p$-ичной сист. сч. образует палиндром из $3$-х и более знаков?

Э, а почему не подходит явно построенное решение например типа $p=101_m=m^2+1$? Или $p=1111111_m=m^7-1$? Палиндром? Палиндром. В $m$ системе счисления? В ней. Для любого $m$? Для любого. Длиннее трёх знаков? Длиннее.
Вот вопрос с простотой таких палиндромов более интересный, но учитывая количество их вариантов и бесконечность, то вполне вероятно что и простые среди них встретятся всегда. Ну или можно попробовать поискать такие $m$, при которых все палиндромы $p$ будут составными числами. Но это задача нехилая ...

PS. Судя по его другой теме товарищ хочет формулу простого числа развидеть в этой горе статистики ... Даже и не знаю, желать ли ему успеха в этом ...

[Andrey A]

Dmitriy40 в сообщении #1498223 писал(а):

развидеть в этой горе статистики ...

Да, именно развидеть ) Ну отчего же, пожелайте. Все через это так или иначе проходят.

Dmitriy40 в сообщении #1498223 писал(а):

например типа $p=101_m=m^2+1$? Или $p=1111111_m=m^7-1$? Палиндром?

Палиндром. Но это частный случай, не хватает обобщения. Параллель — седьмое фибоначчи $=13$. Не зная обобщения, станем напрягать формулу Бине, которая тут сработает, а в других случаях нет. Вопрос простое/составное в той же плоскости лежит. Мне кажется, что в отличии от континуант, где квадратичное сравнение задействовано, тут другие степени каким-то причудливым образом играют. Не знаю, посмотрим.

[Dmitriy40]

Andrey A в сообщении #1498229 писал(а):

Палиндром. Но это частный случай, не хватает обобщения.

А зачем? Ведь на вопрос "для любого ли $m$ существует $p$?" ответ дан. Причём конструктивный. Можно даже дополнительно наложить лишние условия типа минимального такого числа ($101_m$) или минимального только из нечётных цифр ($111_m$). Или ещё поверх них дополнить условием на длину палиндрома.
Вот с условием простоты $p$ всё становится резко сложно.

[Andrey A]

Dmitriy40 в сообщении #1498236 писал(а):

... на вопрос "для любого ли $m$ существует $p$?" ответ дан. Причём конструктивный.

Поясните пожалуйста, может я чего не знаю. $35=100011_2=1022_3=203_4=120_5$ т.е. непалиндромное. Как это можно знать заранее?

(Оффтоп)

Ответить смогу после 17:00

[mathpath]

Кажется, я нашел семь подряд
9351191931391911539
393511919313919115393
73935119193139191153937
3739351191931391911539373
937393511919313919115393739
99373935119193139191153937399
3993739351191931391911539373993

[Dmitriy40]

Andrey A
О, я оказывается неверно прочитал Ваш вопрос, перепутал $m$ и $p$. Соответственно мои слова выше совсем не о том. Прошу прощения.

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1498206 писал(а):

kazvadim в сообщении #1498204 писал(а):

Простые числа, которые имеют палиндром в системах отсчёта: 2-ичной, 3-ичной, 4-ичной, 5-ичной, 6-ичной, 7-ичной, 8-ичной, 9-ичной.

Зачем это перечислять здесь если они уже давно есть в OEIS? Например A016041, A029971...A029982 и т.д.

-- 29.12.2020, 03:53 --

Вообще если начало темы про длинные последовательности простых ещё хоть как-то тянуло на олимпиадный раздел, то продолжение про разные системы счисления уже совсем нумерология без проблеска идей.

Второй раз получаю такое правильное замечание и поделом. Конечно, надо было сначала посмотреть в OEIS. Вы дали мне в руки азартный инструмент, вот и спешу что-нибудь спрограммировать. Зато свои программы и свои возможности, спасибо.
Не предполагал что в этой теме сразу возникнет вопрос по системам счисления. Пытаюсь на школьном уровне как-то поддержать.
Олимпиадный уровень потому, что надоело обламываться, сразу влезая сложную часть решения задачи... покопаюсь пока в азах, чтобы заведомо отмести лишнее.

[mathpath]

А вот и восемь подряд:
71533139513731593133517
9715331395137315931335179
397153313951373159313351793
93971533139513731593133517939
7939715331395137315931335179397
979397153313951373159313351793979
99793971533139513731593133517939799
3997939715331395137315931335179397993