Квантовый лагранжиан

[Osmiy]

Почему в квантовой механике напрочь отсутствует теория лагранжиана и его упоминание? Ни в одной книге или интернет источнике его нет. Он либо в классической механике присутствует, либо сразу в квантовой теории поля появляется.
PS. Прошу попытки найти ответ в куче книг по квантам засчитать за собственное содержательное решение вопроса.

[Odysseus]

Ну как же нет? Фейнман, Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям". См. также интересный рассказ об этом в его Нобелевской лекции

[Alex-Yu]

Osmiy в сообщении #1498046 писал(а):

Почему в квантовой механике напрочь отсутствует теория лагранжиана и его упоминание?

Лагранжевы теории не квантуются. Только гамильтоновы.

Нет, есть конечно что-то вроде квантовой теории на основе лагранжиана (через интеграл по траекториям), но именно что-то вроде. Строго говоря, и интеграл по траекториям надо писать в гамильтоновой форме. А в лагранжевой --- не надежно. И это есть серьезная проблема в релятивистской теории, т.к. гамильтонова формулировка, в отличие от лагранжевой, не может быть релятивистски инвариантной.

[Osmiy]

Odysseus в сообщении #1498053 писал(а):

Ну как же нет? Фейнман, Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям".

Что-то он там намудрил с интегралами по траекториям
Почему, раз есть оператор кинетической энергии $\hat{T}$ и потенциальной $\hat{U}$, просто не ввести лагранжиан $\hat{L}=\hat{T}-\hat{U}$. А потом искать волновую функцию $\Psi(x,t)$, минимизируя действие $S=\int{\langle \Psi \lvert \hat{L}\rvert \Psi \rangle} dt$

Alex-Yu в сообщении #1498062 писал(а):

Лагранжевы теории не квантуются. Только гамильтоновы.
Нет, есть конечно что-то вроде квантовой теории на основе лагранжиана (через интеграл по траекториям), но именно что-то вроде. Строго говоря, и интеграл по траекториям надо писать в гамильтоновой форме. А в лагранжевой --- не надежно.

Т.е. делать как я написал нельзя? Полученная волновая функция не будет решением уравнения Шрёдингера?

[Alex-Yu]

Osmiy в сообщении #1498064 писал(а):

Т.е. делать как я написал нельзя? Полученная волновая функция не будет решением уравнения Шрёдингера?

Еще хуже. Вы вообще не сможете написать оператор. Нет у вас ни оператора кинетической энергии, ни потенциальной. Пока нет гамильтонова формализма. По той простой причине, что пока нет гамильтонова формализма, нет канонически сопряженных переменных. Нет, конечно, если все же перейти к гамильтонову формализму, определить канонически сопряженные величины (координаты и импульсы), сопоставить им операторы а потом назад к лагранжиану... И применить хитрость: то, что где-то там в середке рассуждений был гамильтонов формализм, "забыть". Ну проварьируйте, это же не сложно, и посмотрите, что получается. Чего гадать-то. Откуда при этом возьмется производная по времени, которая должна быть в нестационарном УШ, что-о представить, правда, трудно.

Конечно для простой механики частицы тут таких уж проблем не будет, гамильтонов формализм можно "замести под ковер" и как-нибудь (хотя и нестрого) выкрутиться (но все же, думаю, без интегралов по траекториям не обойтись, но в них можно использовать лагранжиан). Но в более сложных случаях (в системах со связями, в частности в калибровочных теориях), вот там возникнут реальные проблемы, даже с интегралом по траекториям.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1498062 писал(а):

Лагранжевы теории не квантуются. Только гамильтоновы.

Разумеется классический лагранжиан не квантуется. Но уравнение Шредингера можно записать и как гамильтонову систему, и как лагранжеву с лагранжианом

$$ L(\psi,\dot{\psi})=\iiint \Bigl(\operatorname{Im} (\dot{\psi}\psi^\dag ) +|\nabla \psi|^2 - V(x)|\psi|^2\Bigr)\,d^3x $$

где $\psi^\dag$ комплексно сопряжена к $\psi$.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1498078 писал(а):

Но уравнение Шредингера можно записать и как гамильтонову систему, и как лагранжеву с лагранжианом

И это не имеет ни малейшего отношения к квантовой физике. На самом деле есть глубочайшая пропасть между уравнениями движения классических волновых полей и квантовой физикой. От того, что классическое волновое уравнение может иметь вид уравнения Шредингера (так, кстати, бывает), не изменяется ничего. Квантовая физика это отнюдь не про волновое уравнение Шредингера. И то же самое относится и к уравнению Дирака и к уравнению Клейна-Гордона.