Т.е. делать как я написал нельзя? Полученная волновая функция не будет решением уравнения Шрёдингера?
Еще хуже. Вы вообще не сможете написать оператор. Нет у вас ни оператора кинетической энергии, ни потенциальной. Пока нет гамильтонова формализма. По той простой причине, что пока нет гамильтонова формализма, нет канонически сопряженных переменных. Нет, конечно, если все же перейти к гамильтонову формализму, определить канонически сопряженные величины (координаты и импульсы), сопоставить им операторы а потом назад к лагранжиану... И применить хитрость: то, что где-то там в середке рассуждений был гамильтонов формализм, "забыть".
Ну проварьируйте, это же не сложно, и посмотрите, что получается. Чего гадать-то. Откуда при этом возьмется производная по времени, которая должна быть в нестационарном УШ, что-о представить, правда, трудно.
Конечно для простой механики частицы тут таких уж проблем не будет, гамильтонов формализм можно "замести под ковер" и как-нибудь (хотя и нестрого) выкрутиться (но все же, думаю, без интегралов по траекториям не обойтись, но в них можно использовать лагранжиан). Но в более сложных случаях (в системах со связями, в частности в калибровочных теориях), вот там возникнут реальные проблемы, даже с интегралом по траекториям.